[论文解读] Deformations of Saito-Kurokawa type and the Paramodular Conjecture (with an appendix by Cris Poor, Jerry Shurman, and David S. Yuen)

Tobias Berger, Krzysztof Klosin|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 4

一句话总结

本论文通过变形理论建立了来自阿贝尔簇的某些4维伽罗瓦表示的模性，证明在Bloch-Kato Selmer群条件及存在特征零变形的前提下，普遍变形环是离散赋值环。关键结果是Saito-Kurokawa型变形的R^red = T定理，使得能够通过Siegel模形式之间的同余关系验证新的情形下（包括导子731）的参模猜想。

ABSTRACT

We study short crystalline, minimal, essentially self-dual deformations of a mod $p$ non-semisimple Galois representation $\barσ$ with $\barσ^{ m ss}=χ^{k-2} \oplus ρ\oplus χ^{k-1}$, where $χ$ is the mod $p$ cyclotomic character and $ρ$ is an absolutely irreducible reduction of the Galois representation $ρ_f$ attached to a cusp form $f$ of weight $2k-2$. We show that if the Bloch-Kato Selmer groups $H^1_f(\mathbf{Q}, ρ_f(1-k)\otimes \mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)$ and $H^1_f(\mathbf{Q}, ρ(2-k))$ have order $p$, and there exists a characteristic zero absolutely irreducible deformation of $\barσ$ then the universal deformation ring is a dvr. When $k=2$ this allows us to establish the modularity part of the Paramodular Conjecture in cases when one can find a suitable congruence of Siegel modular forms. As an example we prove the modularity of the abelian surface of conductor 731. When $k>2$, we obtain an $R^{ m red}=T$ theorem showing modularity of all such deformations of $\barσ$.

研究动机与目标

• 建立Q上具有有理扭点的阿贝尔簇所诱导的4维、本质自对偶伽罗瓦表示的模性，且无需假设残表示的模性。
• 为Saito-Kurokawa型伽罗瓦表示发展一种变形理论框架，以绕过对Serre型猜想的依赖。
• 证明在Selmer群条件及存在特征零变形的前提下，普遍变形环是离散赋值环。
• 通过Siegel模形式之间的同余关系，验证参模猜想在新情形下的成立，特别是复合导子731的情形。
• 提供一种通用方法，用于在存在合适的参模Saito-Kurokawa提升与稳定Siegel模形式之间的同余关系时，验证阿贝尔簇的模性。

提出的方法

• 构造一个模p的非半单伽罗瓦表示的短晶状、极小、本质自对偶变形，其半简化形式为χ^{k−2} ⊕ ρ ⊕ χ^{k−1}，其中ρ来自一个权为2k−2的尖点形式f。
• 使用Bloch-Kato Selmer群条件：dim H¹_f(Q, ρ(1−k)) = dim H¹_f(Q, ρ(2−k)) = 1，并假设普遍变形环R^red是离散赋值环。
• 应用Kato的控制定理与p进L函数，通过#H¹_f(Q, ρ_f(1−k)⊗E/O) ≤ #O/L^alg(k,f)将代数L值L^alg(k,f)与Selmer群大小联系起来。
• 构造一个作用在权k、水平为1的非提升Siegel模形式空间上的Hecke代数T，且与Saito-Kurokawa提升正交，并通过Saito-Kurokawa提升SK(f)的零化子证明T ≠ 0。
• 建立满射φ: R^red → ∏_{F∈Φ} O ⊃ T，并利用交换代数准则证明φ是同构，从而得出R^red ≅ T。
• 利用I^tot是主理想（定理6.6）的事实，并结合同构φ，通过[BK13]定理4.1得出R^red ≅ T。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Selmer群条件及存在特征零变形的前提下，Saito-Kurokawa型伽罗瓦表示的普遍变形环何时为离散赋值环？
• RQ2 能否在不假设其残表示模性的前提下，建立导子为N的阿贝尔簇的模性？
• RQ3 在缺乏Serre型猜想的情况下，如何利用Saito-Kurokawa提升与稳定Siegel模形式之间的同余关系来证明模性？
• RQ4 在此背景下，Bloch-Kato Selmer群的大小与模形式的L函数代数部分之间的确切关系是什么？
• RQ5 R^red = T定理在多大程度上可用于验证参模猜想在新情形下的成立，特别是针对复合导子？

主要发现

• 当Bloch-Kato Selmer群H¹_f(Q, ρ(1−k))与H¹_f(Q, ρ(2−k))的维数均为1，且存在特征零的绝对不可约变形时，普遍变形环R^red是离散赋值环。
• 当k=2时，该方法在Saito-Kurokawa提升与稳定Siegel模形式之间存在同余关系的情形下，建立了参模猜想的模性部分，例如导子731的情形。
• 证明了导子为731的阿贝尔簇是模的，这是在复合水平下首次验证的、具有真正辛伽罗瓦表示的参模猜想的实例。
• 当k>2时，本文证明了R^red = T定理，表明所有此类σ的变形都是模的，即来自权k、水平1的尖点非提升Siegel模形式特征形式。
• 通过不等式#T/J ≥ #O/L^alg(k,f)确立了非零Hecke代数T的存在性，该不等式源于Selmer群的非零性及[Bro11]推论5.6。
• 通过I^tot的主理想性与交换代数准则，证明了映射φ: R^red → T是同构，从而得出R^red ≅ T。