[论文解读] Deformations of zero-dimensional schemes and applications

Joachim Jelisiejew|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 14被引用 10

一句话总结

本硕士论文开发了构建零维 Gorenstein 概形平坦族的新工具，并将其应用于证明 $√{\mathbb{P}^n}$ 上某些有限 Gorenstein 代数的可光滑性。通过使用 Macaulay 的对偶系统与 Hilbert 函数分解，作者建立了特定 Hilbert 函数下 Gorenstein 闭链的不可约性，显著表明 $x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^2(x_1 + x_2)$ 的对偶代数是可光滑的，且位于 Hilbert 概形的光滑闭链中。

ABSTRACT

In this thesis we consider the geometry of the Hilbert scheme of points in P^n, concentrating on the locus of points corresponding to the Gorenstein subschemes of P^n. New results are given, most importantly we provide tools for constructing flat families and analysis of finite Gorenstein algebras and expose their efficiency by proving smoothability of certain families of algebras. Much of the existing theory and folklore is reviewed, providing a micro-encyclopaedic reference.

研究动机与目标

• 开发 $√{\mathbb{P}^n}$ 上零维 Gorenstein 概形平坦族的构造性工具。
• 利用 Macaulay 的对偶系统与 Hilbert 函数分解分析有限 Gorenstein 代数。
• 证明具有 Hilbert 函数 $(1,4,4,3,1)$ 及相关情形的特定 Gorenstein 代数的可光滑性。
• 在 $r$ 较小且 $n$ 任意时，建立 Hilbert 概形中 Gorenstein 闭链的不可约性。
• 将 Gorenstein 闭链的几何结构与 Veronese 嵌入的切触与卡图斯簇联系起来。

提出的方法

• 利用 Macaulay 的对偶系统，通过对偶 socle 生成元参数化 Gorenstein 代数。
• 应用 Hilbert 函数分解以分类并分析有限 Gorenstein 代数的结构。
• 通过乘法映射的核使用平坦性准则来构造平坦族。
• 使用定理 5.3 在 $k[t]$ 上定义平坦族，其纤维同构于 Gorenstein 代数。
• 应用推论 5.4 通过形变至更简单的概形并列来证明可光滑性。
• 使用命题 4.10 与对偶理想计算切空间维数并验证光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过使用对偶系统与 Hilbert 函数分解系统地构造零维 Gorenstein 概形的平坦族？
• RQ2 在何种条件下，有限 Gorenstein 代数是可光滑的，特别是当 $h_A(1) \leq 3$ 时？
• RQ3 在 $√{\mathbb{P}^n}$ 中 $r$ 个点的 Hilbert 概形中，Gorenstein 闭链是否在 $r$ 较小且 $n$ 任意时不可约？
• RQ4 Hilbert 函数分解如何与 Gorenstein 闭链的几何结构及 Veronese 嵌入的切触簇相关联？
• RQ5 具有 Hilbert 函数 $(1,4,4,3,1)$ 的 Gorenstein 点处的切空间维数是多少？其是否蕴含光滑性？

主要发现

• 具有 Hilbert 函数 $(1,4,4,3,1)$ 的 Gorenstein 代数的对偶 socle 生成元集合在 $Z \times S^{\leq 3}$ 中构成一个不可约开子集，其中 $Z$ 参数化具有 Hilbert 函数 $(1,3,3,3,1)$ 的四次型。
• $x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^2(x_1 + x_2)$ 的对偶代数是可光滑的，因为它作为不相交的二重点与三重点概形并列的平坦极限而出现。
• 映射 $V \to \operatorname{HilbGor}_{\mathbb{P}^n}^r$ 的像不可约，其中 $V$ 参数化某些对偶 socle 生成元。
• $x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^2(x_1 + x_2)$ 对应的点位于 $\operatorname{HilbGor}_{\mathbb{P}^n}^r$ 的光滑闭链中，其切空间的 $k$-维数为 52。
• 每个满足 $h_A(1) \leq 3$ 的有限 Gorenstein 代数都是可光滑的，这通过形变理论准则与对偶系统得以证明。
• 在三个变量中具有 Hilbert 函数 $(1,n,m,m,n,1)$ 且 $m \leq 3$ 的四次型的射影集合是第五个 Veronese 嵌入的第三条切触簇，因此不可约。