[论文解读] Deformed Boson Scheme in Time-Dependent Variational Method. II

A. Kuriyama, Constança Providência+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2001

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文将时间依赖变分法中的形变玻色子方案扩展至双玻色子系统，利用三个独立的形变函数推导出 $su(2)$-和 $su(1,1)$-自旋代数的形变相干态。结果表明，标准的 $su(2)_q$-和 $su(1,1)_q$-代数作为特例自然出现，且 Holstein-Primakoff 表示被实现为 Schwinger 玻色子映射的形变，从而能够描述量子系统中的阻尼与放大振荡。

ABSTRACT

In this paper as a continuation of Part I, the case of two kinds of boson operators is treated. The deformation of the coherent states for the su(2)- and the su(1,1)-algebra and their related deformed algebras are discussed in various forms including the most popular form.

研究动机与目标

• 将形变玻色子方案推广至包含两种玻色子算符的系统，以描述 $su(2)$-和 $su(1,1)$-自旋系统。
• 利用最多三个独立的形变函数，推导 $su(2)$-和 $su(1,1)$-自旋的形变相干态。
• 证明标准的 $su(2)_q$-和 $su(1,1)_q$-代数可自然作为形变方案的特例出现。
• 在形变玻色子框架中，建立 Holstein-Primakoff 表示作为 Schwinger 玻色子映射的形变。
• 通过形变代数结构，实现对保守量子系统中阻尼与放大振荡动力学的描述。

提出的方法

• 使用双玻色子算符 $({ ilde{a}}, { ilde{a}}^*)$ 和 $({ ilde{b}}, { ilde{b}}^*)$，通过 Schwinger 玻色子映射表示 $su(2)$-和 $su(1,1)$-自旋生成元。
• 利用包含 $ ilde{c}^* = ilde{a}^* ilde{b} $ 和 $ ilde{c}^* = ilde{a}^* ilde{b}^* $ 的指数算符构造相干态，归一化因子依赖于形变函数。
• 采用三个独立函数 $f(x)$、$g(x)$ 和 $h(x)$ 对玻色子代数进行形变，在 $su(2)$ 和 $su(1,1)$ 情况下代数上简化为两个独立函数。
• 通过为形变函数选择特定函数形式，推导出形变的 $su(2)_q$-和 $su(1,1)_q$-代数，包括标准形式 $[x]_q = (q^x - q^{-x})/(q - q^{-1})$。
• 识别出 Holstein-Primakoff 表示为形变方案的极限情况，其中 $|q|^{-1} = 2 au$ 对于 $su(1,1)$ 且 $q^{-1} = 2 au$ 对于 $su(1,1)$，从而实现对阻尼/振荡动力学的描述。
• 通过相干态及其在变分法框架下的时间演化，分析形变系统的经典对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将形变玻色子方案从单种玻色子算符扩展至两种玻色子算符，以描述 $su(2)$-和 $su(1,1)$-自旋系统？
• RQ2 在形变玻色子框架中，三个独立形变函数在生成 $su(2)_q$-和 $su(1,1)_q$-代数中的作用是什么？
• RQ3 能否将 $su(2)$-和 $su(1,1)$-自旋的 Holstein-Primakoff 表示作为 Schwinger 玻色子映射的形变推导出来？
• RQ4 形变相干态及其经典对应如何描述保守量子系统中的阻尼与放大振荡？
• RQ5 在何种条件下，形变的 $su(1,1)$-代数可近似为真实的 $su(1,1)$-代数，其物理意义是什么？

主要发现

• 标准的 $su(2)_q$-代数以形式 $[x]_q = (q^x - q^{-x})/(q - q^{-1})$ 作为形变玻色子方案的特定情况被实现，前提是恰当选择三个形变函数。
• $su(1,1)_q$-代数同样作为形变方案的特例出现，形变函数的选择导致了 $q$-形变对易关系。
• 对于 $su(2)$-自旋，Holstein-Primakoff 表示被推导为 Schwinger 玻色子映射的形变，其中 $|q|^{-1} = 2 au$ 且 $ au = 0, 1/2, 1, rac{3}{2}, ext{ 等等} $，对应自旋量子数。
• 对于 $su(1,1)$-自旋，当 $q^{-1} = 2 au$ 时实现 Holstein-Primakoff 形式，其中 $ au $ 为正且任意，且 $ au_0 = au, au+1, au+2, ext{ 等等} $，从而可近似描述阻尼与放大振荡。
• 对于有限 $ ilde{n} $，形变的 $su(1,1)$-代数并非真正的代数，但对于较大的 $ ilde{n} $，其近似足够好，可描述非紧致动力学。
• 通过形变算符 $ ilde{c}^* $ 定义伪 $su(1,1)$-代数，其形式上表现如玻色子，允许构造描述保守框架中阻尼与放大振荡的相干态。