[论文解读] Deforming complete Hermitian metrics with unbounded curvature

Albert Chau, Ka-Fai Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文在非紧复流形上建立了基於初始度量曲率無界的凱勒-里奇流的短時存在性與長時存在性。透過以具有有界曲率的光滑完備凱勒度量序列一致逼近此類度量，作者證明了流在 t > 0 時平滑演變且保持完備性與有界曲率，並連續延拓至 t = 0。

ABSTRACT

We produce solutions to the Kähler-Ricci flow emerging from complete initial metrics $g_0$ which are $C^0$ Hermitian limits of Kähler metrics. Of particular interest is when $g_0$ is Kähler with unbounded curvature. We provide such solutions for a wide class of $U(n)$-invariant Kähler metrics $g_0$ on $n$ dimensional complex Euclidean space, many of which having unbounded curvature. As a special case we have the following Corollary: The Kähler-Ricci flow has a smooth short time solution starting from any smooth complete $U(n)$-invariant Käbler metric on $\C^n$ with either non-negative or non-positive holomorphic bisectional curvature, and the solution exists for all time in the case of non-positive curvature.

研究动机与目标

• 在初始度量具有無界曲率時，建立完備非緊凱勒流形上凱勒-里奇流的短時存在性。
• 將先前關於無界曲率下里奇流的結果推廣至高維度的凱勒-里奇流。
• 提供條件，使凱勒-里奇流在初始度量曲率無界時仍能保持完備性並在 t > 0 時產生有界曲率。
• 分析在 ℂⁿ 上具有無界曲率的 U(n)-不變凱勒度量下流的行為，特別是那些具有非正或非負全純雙截面曲率的情形。
• 根據曲率界，尤其是全純雙截面曲率，推導出流存在時間 T 的顯式下界。

提出的方法

• 以一序列 $\{h_{k,0}\}$ 的光滑、完備凱勒度量逼近初始完備赫米特度量 $g_0$，使其在緊緻子集上一致收斂於 $g_0$。
• 利用與完備凱勒度量 $\hat{g}$ 的一致等價關係 $C^{-1}\hat{g} \leq h_{k,0} \leq C\hat{g}$，控制幾何性質，確保體積與截面半徑的統一下界。
• 應用拋物型蒙日-安培方程技術，在 $M \times (0,T)$ 上求解凱勒-里奇流，確保 $t > 0$ 時的平滑性與有界曲率。
• 在逼近序列平滑收斂的條件下，建立解在 $M \times [0,T)$ 上的連續延拓，且滿足 $g(0) = g_0$。
• 利用體積比較與測地球覆蓋論證，證明單位測地球體積的統一下界，確保 $t > 0$ 時的有界幾何性質。
• 利用已知的高橋Cigar孤立子與體積增長結果，將 $g$ 與具有已知有界曲率與體積增長的度量進行比較，證明截面半徑與體積的統一下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非緊複流形上，若初始度量具有無界曲率，是否可解凱勒-里奇流？
• RQ2 在初始度量具有無界曲率時，凱勒-里奇流在何種條件下能保持完備性並在 $t > 0$ 時產生有界曲率？
• RQ3 流的存在時間 $T$ 如何根據曲率界（特別是全純雙截面曲率）來表達？
• RQ4 在 ℂⁿ 上具有無界曲率的 $U(n)$-不變凱勒度量下，流的行為如何，特別是那些具有非正或非負全純雙截面曲率的情形？
• RQ5 能否從具有有界曲率的完備凱勒度量 $\hat{g}$ 的擾動出發，透過一個具有次線性增長的勢函數 $u$，啟動流？

主要发现

• 若 $g_0$ 是一序列一致等價的光滑完備凱勒度量（具有有界曲率）的 $C^0$ 限制，則凱勒-里奇流在 $M \times (0,T)$ 上存在光滑完備解，且 $t > 0$ 時曲率有界，並可連續延拓至 $M \times [0,T)$，滿足 $g(0) = g_0$。
• 對於 ℂⁿ 上具有無界曲率的 $U(n)$-不變凱勒度量，若全純雙截面曲率為非正，則流存在所有時間。
• 若 $g_0$ 的全純雙截面曲率上界為 $K > 0$，則流至少在 $[0, 1/(2nK))$ 上存在。
• 存在時間 $T$ 可根據全純雙截面曲率的上界從下界估計，當 $K \leq 0$ 時 $T = \infty$。
• 從任何光滑完備的 $U(n)$-不變凱勒度量出發，只要其全純雙截面曲率為非負或非正，流即存在，且在非正情形下全局存在。
• 對於具有有界曲率的完備凱勒度量 $\hat{g}$ 的擾動，若勢函數 $u$ 滿足 $|u|$ 與 $|\nabla u|_{g_0}$ 的次線性增長，則流在某個 $T > 0$ 時段 $[0,T)$ 上存在，且 $t > 0$ 時曲率有界。