[论文解读] Degenerate Algorithms for degenerate Bernoulli and Euler numbers

Taekyun Kim, Dae san Kim|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2026

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一句话总结

论文引入带有参数 lambda 的 A- 和 B-算法的退化版本，给出以初始序列和退化Stirling数表示的显式最终序列，并在特定初始条件下得到退化的Bernoulli数和Euler数。

ABSTRACT

This paper introduces and investigates degenerate versions of the A-algorithm and B-algorithm by incorporating a parameter lambda into their respective recurrence relations. We derive explicit formulas for the final sequences of these algorithms in terms of the initial sequences and the degenerate Stirling numbers of the second kind. Furthermore, we establish functional relationships between the ordinary generating functions of the initial sequences and the exponential generating functions of the final sequences. Specifically, we demonstrate that these degenerate algorithms yield degenerate Bernoulli and Euler numbers under specific initial conditions.

研究动机与目标

• 研究组合学中经典递归算法的退化类比的动机。
• 在 B-算法和 A-算法中发展包含变形参数 lambda 的退化版本。
• 推导以初始序列和退化的第二类Stirling数为参数的显式最终序列公式。
• 建立初始序列的常规生成函数与最终序列的指数生成函数之间的关系。
• 展示特定初始序列如何得到退化的 Bernoulli 和 Euler 数。

提出的方法

• 在它们的递推关系中定义带变形参数 lambda 的退化 B-与 A-算法。
• 证明最终序列满足 a_{n,0}(lambda)=sum_{k=0}^n (-1)^k k! {n brace k}_lambda a_{0,k}(lambda)。
• 对于 a_{0,k}(lambda)=binom{k-lambda}{k}/(k+1)，有 a_{n,0}(lambda)=beta_{n,lambda}。
• 对于 a_{0,k}(lambda)=(1/2)^k，a_{n,0}(lambda)=E_{n,lambda}，或 E_{n,lambda}(1)（取决于算法变体）。
• 建立生成函数恒等式：overline{F}_lambda(t)=F_lambda(1-e_lambda(t)) 和 overline{G}_lambda(t)=e_lambda(t) G_lambda(1-e_lambda(t))。
• 推导与退化Bernoulli和Euler数相关的特殊情况结果，并给出初始序列的示例。

实验结果

研究问题

• RQ1 lambda 趋近于 0 时，退化版本的 A- 和 B-算法是否能再现经典序列？
• RQ2 lambda 变形如何影响以退化 St幸运ering 数表示的最终序列的结构和可计算性？
• RQ3 哪些生成函数关系将初始序列与退化 Bernoulli 和 Euler 数联系起来？
• RQ4 在哪些初始序列下，最终序列与退化的 Bernoulli、Euler 或 Bell 型数重合？
• RQ5 常见初始选择（如 binom{k-lambda}{k}/(k+1) 和 (1/2)^k) 的最终序列的显式形式为何？

主要发现

• 最终 B-算法序列满足 a_{n,0}(lambda)=sum_{k=0}^n (-1)^k k! {n brace k}_lambda a_{0,k}(lambda)。
• 对于 a_{0,k}(lambda)=binom{k-lambda}{k}/(k+1)，a_{n,0}(lambda)=beta_{n,lambda}。
• 对于 a_{0,k}(lambda)=(1/2)^k，a_{n,0}(lambda)=E_{n,lambda}。
• B-算法的最终序列的指数生成函数为 overline{F}_lambda(t)=F_lambda(1-e_lambda(t))。
• A-算法的最终序列的指数生成函数为 overline{G}_lambda(t)=e_lambda(t) G_lambda(1-e_lambda(t))。
• 特殊情形给出退化的 Bernoulli 和 Euler 数：beta_{n,lambda} 和 E_{n,lambda}(1)。