[论文解读] Degenerate Daehee polynomials of the second kind

Taekyun Kim, Dae San Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文通过一种新颖的生成函数（涉及对数项与退化指数项）引入了第二类退化Daehee多项式。推导了显式公式、递推关系，并建立了与Carlitz的退化Bernoulli多项式及Stirling数之间的联系，通过生成函数运算与组合系数提取，确立了新恒等式。

ABSTRACT

In this paper, we consider the degenerate Daehee numbers and polynomials of the second kind which are different from the previously introduced Daehee numbers and polynomials. We investigate some properties of these numbers and polynomials. In addition, we give some new identities and relations between the Daehee polynomials of the second kind and Carlitz's degenerate Bernoulli polynomials.

研究动机与目标

• 定义并研究第二类退化Daehee多项式，其与先前研究的退化Daehee多项式不同。
• 探讨其性质，包括生成函数、λ→0时的极限行为，以及与经典和退化特殊多项式之间的联系。
• 建立第二类退化Daehee多项式与Carlitz的退化Bernoulli多项式之间的新恒等式。
• 推导涉及第一类与第二类Stirling数及退化下降阶乘的显式公式。
• 研究高阶退化Daehee多项式的行为及其关系，通过生成函数分解进行分析。

提出的方法

• 通过生成函数定义第二类退化Daehee多项式：$ \frac{\log(1+t)}{(1+\lambda\log(1+t))^{1/\lambda}-1}(1+\lambda\log(1+t))^{x/\lambda} = \sum_{n=0}^\infty D_{n,\lambda}(x)\frac{t^n}{n!} $。
• 利用极限 $ \lim_{\lambda \to 0} D_{n,\lambda}(x) = D_n(x) $ 确认其与经典Daehee多项式的相容性。
• 将生成函数表示为退化Bernoulli多项式 $ \beta_{m,\lambda}(x) $ 与Stirling数 $ S_1(n,m) $ 的级数乘积形式。
• 通过 $ \log(1+t) $、$ (\log(1+t))^k $ 与 $ (1+\lambda\log(1+t))^{x/\lambda} $ 的生成函数展开提取系数。
• 利用展开式 $ (1+\lambda\log(1+t))^{x/\lambda} = \sum_{m=0}^\infty (x)_{m,\lambda} \frac{(\log(1+t))^m}{m!} $，其中 $ (x)_{m,\lambda} $ 为退化下降阶乘。
• 通过组合涉及 $ S_1(n,k) $、$ S_2,\lambda(k,m) $ 与高阶Bernoulli数的卷积恒等式，推导显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 第二类退化Daehee多项式与先前定义的退化Daehee多项式有何不同？
• RQ2 如何用退化Bernoulli多项式、Stirling数与下降阶乘表示 $ D_{n,\lambda}(x) $ 的显式公式？
• RQ3 第二类退化Daehee多项式与Carlitz的退化Bernoulli多项式之间存在哪些恒等式关系？
• RQ4 高阶退化Daehee多项式 $ D_{n,\lambda}^{(r)}(x) $ 的行为如何？其生成函数结构是怎样的？
• RQ5 $ D_{n,\lambda}^{(-r)} $ 的闭式表达式是什么？其与高阶Bernoulli数及Stirling数有何关联？

主要发现

• 第二类退化Daehee多项式由生成函数 $ \frac{\log(1+t)}{(1+\lambda\log(1+t))^{1/\lambda}-1}(1+\lambda\log(1+t))^{x/\lambda} $ 定义，当 $ \lambda \to 0 $ 时退化为经典Daehee生成函数。
• $ D_{n,\lambda}(x) $ 的显式公式为 $ \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} \binom{n}{k} (x)_{m,\lambda} S_1(k,m) D_{n-k,\lambda} $，将其与退化下降阶乘及Stirling数联系起来。
• 导出了 $ D_{n,\lambda}^{(r)}(x) $ 的递推关系：$ D_{n,\lambda}^{(r)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} \binom{n}{k} (x)_{m,\lambda} S_1(k,m) D_{n-k,\lambda}^{(r)} $，表明其在 $ x $ 上具有多项式结构。
• 恒等式 $ D_{n,\lambda}^{(r)}(x+y) = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} \binom{n}{k} D_{n-k,\lambda}^{(r)}(x) (y)_{m,\lambda} S_1(k,m) $ 表明 $ x $ 和 $ y $ 的平移具有多项式性质。
• 建立了 $ D_{n,\lambda}^{(-r)} $ 的闭式表达式：$ D_{n,\lambda}^{(-r)} = \sum_{k=0}^{n} \sum_{l=0}^{k} \frac{\binom{n}{k}}{\binom{k+r}{k}} S_{2,\lambda}(l+r,r) S_1(k+r,l+r) B_{n-k}^{(n-k-r+1)}(1) $，将负阶多项式与高阶Bernoulli数联系起来。
• 本文证实 $ D_{n,\lambda}^{(r)}(x) $ 可表示为三重卷积形式，涉及 $ B_{m}^{(m+r+1)}(x+1) $、$ S_{2,\lambda}(k,m) $、$ S_1(p,k) $ 与 $ S_1(n-p,j) $，提供了完整的系数公式。