[论文解读] Degenerate flat bands in twisted bilayer graphene

Simon Becker, Tristan Humbert+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2023

Graphene research and applications被引用 4

一句话总结

本文证明了在扭曲双层石墨烯的近似哈密顿量中存在魔角，此时Bistritzer-MacDonald哈密顿量在手征极限下表现出四重简并的平坦能带，而非先前已知的二重简并。通过Floquet理论与谱分析，作者表明对于一般隧道势，存在无穷多个此类简并的魔角，且在每个魔角处系统仅支持二重或四重简并的平坦能带，同时计算了四能带情况下的陈数。

ABSTRACT

We prove that in the chiral limit of the Bistritzer--MacDonald Hamiltonian, there exist magic angles at which the Hamiltonian exhibits flat bands of multiplicity four instead of two. We analyse the structure of Bloch functions associated with the bands of arbitrary multiplicity, compute the corresponding Chern number to be $ -1 $, and show that there exist infinitely many degenerate magic angles for a generic choice of tunnelling potential, including the Bistritzer--MacDonald potential. Moreover, we demonstrate for generic tunnelling potentials flat bands have only twofold or fourfold multiplicities.

研究动机与目标

• 研究扭曲双层石墨烯的Bistritzer-MacDonald哈密顿量在手征极限下是否存在高于二重简并的平坦能带。
• 分析布洛赫函数的结构并计算四重简并平坦能带的陈数。
• 证明对于一般隧道势，存在无穷多个魔角，使得四重简并的平坦能带出现。
• 证明哈密顿量在每个魔角下仅产生二重或四重简并的平坦能带，而不会出现更高简并。
• 建立系统的对称性与谱性质，包括能带曲率与几何重数的行为。

提出的方法

• 分析基于Bistritzer-MacDonald哈密顿量的手征极限，其表示为包含算子 $ D(\alpha) $ 的分块矩阵，其中 $ \alpha $ 与扭转角的倒数成正比。
• 应用Floquet理论，利用摩尔晶格平移 $ \mathscr{L}_{\mathbf{a}} $，其保持哈密顿量结构，并允许在零能周围定义离散且对称的谱。
• 在Sobolev空间 $ H^1_k $ 中求解谱问题 $ H(\alpha)u = Eu $，其中 $ k $-依赖性通过Floquet条件 $ \mathscr{L}_{\mathbf{a}}u = e^{i\langle k,\mathbf{a}\rangle}u $ 编码。
• 魔角的存在性由条件 $ E_1(\alpha,k) \equiv 0 $ 对所有 $ k $ 成立来定义，而简并度由零能以上第一个非零能带决定。
• 通过格拉姆矩阵与陈数公式计算与平坦能带相关的全纯线丛的曲率，并利用 $ Rk = \bar{\omega}k $ 和 $ \Omega $-作用进行对称性分析。
• 通过数值实验与矩阵谱分析（如 $ T_0 $）验证代数重数与几何重数，特别是针对非对角化 $ T_k $ 的情况。

Figure 1 . Magic angles $\alpha$ derived from potentials $U=U_{1}$ (left) and $U=U_{2}$ (right) in ( 1.1 ). The multiplicity of the flat bands $u$ of $(D(\alpha)+k)u_{k}=0$ is illustrated by the numbers (no number $\rightarrow$ simple magic angle, 2 $\rightarrow$ two-fold degenerate magic angle) in

实验结果

研究问题

• RQ1 在扭曲双层石墨烯的手征极限下，是否存在除已知二重简并外的四重简并平坦能带？
• RQ2 四重简并平坦能带对应的布洛赫函数结构及其陈数为何？
• RQ3 对于一般隧道势，是否存在无穷多个出现四重简并的魔角？
• RQ4 哈密顿量是否仅产生二重或四重简并的平坦能带，而不会出现更高简并？
• RQ5 系统的对称性（如 $ H(\omega z) = H(z) $）如何约束平坦能带的曲率与谱性质？

主要发现

• 本文证明了在Bistritzer-MacDonald哈密顿量的手征极限下，存在无穷多个简并的魔角，此时平坦能带为四重简并，而非仅二重简并。
• 对于对应标准Bistritzer-MacDonald模型的势 $ U_1(z) $，存在无穷多个复魔角，其具有四重简并性，数值证据表明在磁场作用下会出现实魔角。
• 计算了四重简并平坦能带的陈数，确认其具有非平庸的拓扑性质，且与之相关的全纯线丛曲率在 $ k \mapsto \bar{\omega}k $ 下具有对称性。
• 数值结果证实，系统在每个魔角下仅产生二重或四重简并的平坦能带，未观察到更高简并。
• 即使代数重数为二，算子 $ T_0 $ 的特征值 $ 1/\alpha $ 的几何重数仍为一，表明 $ T_k $ 通常不可对角化。
• 贝里连接的曲率在狄拉克点 $ K, \Gamma, K' $ 处表现出极值，数值图显示实二重简并魔角的曲率标准差单调增加，与简单魔角情况形成对比。

Figure 2 . Let $\alpha\approx 0.853799$ as in Table 1 , lowest two Bloch band with positive energy close to the first magic angle with $U=U_{2}$ . We plot $E_{1}(k)$ (left) and $E_{2}(k)$ (right).