[论文解读] Degenerate-parabolic partial differential equations with unbounded coefficients, martingale problems, and a mimicking theorem for Ito processes

Paul M. N. Feehan, Camelia A. Pop|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 4

一句话总结

本文在考虑边界退化性的加权 Hölder 空间中，建立了具有无界、线性增长系数的退化抛物型 PDE 解的存在性与唯一性。结果解决了退化椭圆算子的局部鞅问题的适定性，将 Stroock 与 Varadhan 的框架扩展至数学金融与扩散过程相关的无界与退化情形。

ABSTRACT

Motivated by applications to probability and mathematical finance, we consider a parabolic partial differential equation on a half-space whose coefficients are suitably Holder continuous and allowed to grow linearly in the spatial variable and which become degenerate along the boundary of the half-space. We establish existence and uniqueness of solutions in weighted Holder spaces which incorporate both the degeneracy at the boundary and the unboundedness of the coefficients. In our companion article [arXiv:1211.4636], we apply the main result of this article to show that the martingale problem associated with a degenerate-elliptic partial differential operator is well-posed in the sense of Stroock and Varadhan.

研究动机与目标

• 解决具有无界、线性增长系数的退化抛物型 PDE 在半空间中解的存在性与唯一性问题。
• 通过加权 Hölder 空间同时处理边界退化与系数无界性。
• 为退化与无界情形下局部鞅问题的适定性建立理论基础。
• 支持在具有退化扩散系数的 Ito 过程中涉及概率论与数学金融的应用。

提出的方法

• 分析在半空间上具有 Hölder 连续且在空间变量上线性增长的系数的抛物型 PDE。
• 使用加权 Hölder 空间以同时处理边界处的退化与系数的无界性。
• 应用概率方法，特别是局部鞅问题的表述，将 PDE 解与随机过程联系起来。
• 利用合作者论文 [arXiv:1211.4636] 的结果，以 Stroock 与 Varadhan 的意义建立适定性。
• 通过求解局部鞅问题，建立 Ito 过程的模仿定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有无界系数的退化抛物型 PDE 在加权 Hölder 空间中存在唯一解？
• RQ2 如何在解空间中同时处理边界退化与系数的线性增长？
• RQ3 何种条件可确保具有无界系数的退化椭圆算子的局部鞅问题适定？
• RQ4 能否从关联局部鞅问题的解中推导出 Ito 过程的模仿定理？

主要发现

• 在加权 Hölder 空间中，建立了具有无界、线性增长系数的退化抛物型 PDE 解的存在性与唯一性。
• 该解空间有效捕捉了边界处的退化性与系数的无界性。
• 与退化椭圆算子相关的局部鞅问题在 Stroock 与 Varadhan 的意义下是适定的。
• 结果支持在退化与无界系数条件下 Ito 过程的模仿定理。