[论文解读] Degenerate principal series of metaplectic groups and Howe correspondence

Soo Teck Lee, Chen-Bo Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文完成了对实系合群退化标准系列表示中，由 Howe 对应诱导的余不变空间像的完整描述，表明这些表示的可约性完全由此类余不变模的嵌入所决定。关键贡献在于基于 $K$-型和模图，对 $Ω^{p,q}$ 实现了完整分类，填补了先前研究中的空白，并厘清了局部 Howe 对偶中的结构规律。

ABSTRACT

The main purpose of this article is to supplement the authors' results on degenerate principal series representations of real symplectic groups with the analogous results for metaplectic groups. The basic theme, as in the previous case, is that their structures are anticipated by certain natural subrepresentations constructed from Howe correspondence. This supplement is necessary as these representations play a key role in understanding the basic structure of Howe correspondence (and its complications in the archimedean case), and their global counterparts play an equally essential part in the proof of Siegel-Weil formula and its generalizations (work of Kudla-Rallis). The full results in the metaplectic case also shed light on the seeming peculiarities, when the results in the symplectic case are viewed in their isolation.

研究动机与目标

• 完成对实系合群退化标准系列中，由 Howe 对应诱导的余不变空间像 $Ω^{p,q}$ 的完整描述，尤其关注 $p+q$ 为奇数的情形。
• 厘清代数结构在阿基米德情形下 Howe 对应中的作用，及其在 Siegel-Weil 公式及其推广中全局对应表示的结构角色。
• 通过在系合设置中统一处理，解决在辛群情形下出现的明显异常现象。
• 表明退化标准系列 $I^\alpha(\sigma)$ 的可约性完全由余不变模 $\Omega^{p,q}$ 的嵌入所决定。

提出的方法

• 利用 $K$-型分解，将 $\Omega^{p,q}$ 识别为 $G$-表示，借助 $I^\alpha(\sigma)$ 的无重性性质。
• 分析 $I^\alpha(\sigma)$ 的过渡系数，以确定其不可约性与补系列结构。
• 基于 $n+m$ 的奇偶性及 $p$ 的奇偶性，构建 $I^\alpha(\sigma)$ 的模图，区分 $\sigma \leq -\frac{1}{2}$ 与 $\sigma \geq \frac{1}{2}$ 的情形。
• 定义由给定不可约子商 $L_{s,t}$ 生成的子模 $\prec L_{s,t} \succ$，其规则依 $p$ 的奇偶性而异。
• 利用仿射商映射 $\psi_{p,q}$ 将余不变量嵌入 $I^\alpha(\sigma)$，并通过 $K$-型分析刻画其像。
• 将经典不变量理论的类比（FFT 与 SFT）应用于实系合群的超越设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p+q$ 为奇数时，余不变空间像 $\Omega^{p,q}$ 在系合群 $\widetilde{\mathrm{Sp}}(2n,\mathbb{R})$ 的退化标准系列 $I^\alpha(\sigma)$ 中如何嵌入？
• RQ2 在 $K$-型与 $I^\alpha(\sigma)$ 的子商结构方面，$\Omega^{p,q}$ 的精确结构为何，尤其是在可约点处？
• RQ3 $I^\alpha(\sigma)$ 的可约性模式如何与 $\Omega^{p,q}$ 模的嵌入相对应？
• RQ4 为何在辛群情形下结果看似异常？系合情形如何解决这一问题？
• RQ5 能否在不加限制地涵盖所有 $n$, $m$, $p$, $q$ 的奇偶性下，统一描述 $\Omega^{p,q}$ 的完整结构？

主要发现

• 当 $n+m$ 为偶数且 $p$ 为奇数时，若 $\sigma \leq -\frac{1}{2}$，则 $\Omega^{p,q} = L_{\frac{n+1-q}{2},\frac{p-1}{2}}$，表明其为模图底层的一个不可约子模。
• 当 $\sigma \geq \frac{1}{2}$ 且 $p$ 为奇数时，$\Omega^{p,q} = \prec L_{s,t} \succ$，其中 $s = \max(0, \frac{n+1-q}{2})$，$t = \min([\frac{n}{2}], \frac{p-1}{2})$，构成由特定子商生成的子模。
• 当 $n+m$ 为偶数且 $p$ 为偶数时，若 $\sigma \leq -\frac{1}{2}$，则 $\Omega^{p,q} = L_{\frac{p}{2},\frac{n-q}{2}}$，同样为模图底层的不可约子模。
• 当 $\sigma \geq \frac{1}{2}$ 且 $p$ 为偶数时，$\Omega^{p,q} = \prec L_{s,t} \succ$，其中 $s = \min([\frac{n+1}{2}], \frac{p}{2})$，$t = \max(0, \frac{n-q}{2})$，构成具有不同边界条件的子模。
• 所有在底层的 $L_{i,j}$（当 $\sigma \leq -\frac{1}{2}$ 时）穷尽了 $I^\alpha(\sigma)$ 的不可约子模，其结构完全由参数 $p,q,n,m$ 决定。
• 在定理 6.1 中形式化地表明，$I^\alpha(\sigma)$ 的可约性完全由 $\Omega^{p,q}$ 模的可能嵌入所决定，该定理可视为经典不变量理论第二基本定理的阿基米德类比。