[论文解读] Degeneration of endomorphisms of the complex projective space in the hybrid space

Charles Favre|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 56被引用 36

一句话总结

本论文证明了复射影空间 $\mathbb{P}^k_{\mathbb{C}}$ 上度为 $d$ 的亚纯族的极大熵测度在参数趋于零时，通过Berkovich和Boucksom与Jonsson所构造的混合解析空间，收敛于关联的非阿基米德动力系统的平衡测度。该收敛性通过混合设置下的模型函数与Monge-Ampère测度得以证明，并应用于李雅普诺夫指数爆破估计。

ABSTRACT

We consider a meromorphic family of endomorphisms of degree at least 2 of a complex projective space that is parameterized by the unit disk.We prove that the measure of maximal entropy of these endomorphisms converges to the equilibrium measure of the associated non-Archimedean dynamical system when the system degenerates. The convergence holdsin the hybrid space constructed by Berkovich and further studied by Boucksom and Jonsson. We also infer from our analysis an estimate for the blow-up of the Lyapunov exponent near a pole in one-dimensional families of endomorphisms.

研究动机与目标

• 分析复射影空间中动力系统在参数趋于零时的退化行为。
• 在混合空间中建立极大熵测度 $\mu_t$ 收敛于非阿基米德平衡测度 $\mu_{\mathcal{R}}$ 的结果。
• 将DeMarco与Faber在黎曼球面上对有理映射的结果推广至高维情形。
• 为一维自同态族中极点附近李雅普诺夫指数的爆破率提供估计。
• 将模型函数与Monge-Ampère测度的框架扩展至动力系统的混合解析空间。

提出的方法

• 利用Berkovich所构造并由Boucksom与Jonsson进一步发展的混合解析空间，该空间统一了单位圆盘上复分析与非阿基米德分析结构。
• 通过 $t$-进赋值与混合赋值 $|\cdot|_{\text{hyb}}$ 在混合空间上定义模型函数，从而实现复度量与非阿基米德度量之间的比较。
• 对模型函数及其一致极限应用Monge-Ampère算子，以在混合空间上构造测度。
• 利用复情形下 $\frac{1}{d^{kn}}(R_t^n)^*\omega_{\text{FS}}^{\wedge k}$ 收敛于 $\mu_t$，以及非阿基米德情形下 $\frac{1}{d^{kn}}(\mathcal{R}^n)^*\delta_{x_G}$ 收敛于 $\mu_{\mathcal{R}}$ 的性质。
• 利用同胚映射 $\psi: \mathbb{P}^k_{\mathbb{C}} \times \overline{\mathbb{D}}_r^* \to \pi^{-1}(\tau(\overline{\mathbb{D}}_r^*))$ 将复纤维与混合纤维对应起来。
• 应用 [BJ17] 中关于体积形式与Monge-Ampère测度退化的结果，将 $\mu_t$ 的极限与非阿基米德平衡测度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在混合空间中，复射影空间 $\mathbb{P}^k_{\mathbb{C}}$ 上亚纯族的极大熵测度 $\mu_t$ 是否在 $t \to 0$ 时收敛于非阿基米德平衡测度 $\mu_{\mathcal{R}}$？
• RQ2 当 $\mu_t$ 属于复解析空间而 $\mu_{\mathcal{R}}$ 属于非阿基米德解析空间时，$\mu_t$ 的收敛性应如何有意义地定义？
• RQ3 能否利用混合空间框架估计一维自同态族中极点附近李雅普诺夫指数的爆破速率？
• RQ4 混合空间上模型函数的Monge-Ampère测度的极限是否等于非阿基米德平衡测度？
• RQ5 在混合设置下，体积形式及其相关度量的退化与平衡测度退化之间的关系在多大程度上可被建立？

主要发现

• 复自同态 $R_t$ 的极大熵测度 $\mu_t$ 在 $t \to 0$ 时于混合空间中收敛于非阿基米德自同态 $\mathcal{R}$ 在 $\mathbb{P}^{k,\text{an}}_{\mathbb{C}((t))}$ 上的平衡测度 $\mu_{\mathcal{R}}$。
• 该收敛性通过混合结构建立：对 $t \in \mathbb{D}^*$ 的纤维同构于 $\mathbb{P}^k_{\mathbb{C}} \times \{t\}$，而 $t=0$ 处的中心纤维被识别为Berkovich解析化 $\mathbb{P}^{k,\text{an}}_{\mathbb{C}((t))}$。
• 极限测度 $\mu_{\mathcal{R}}$ 是序列 $\frac{1}{d^{kn}}(\mathcal{R}^n)^*\delta_{x_G}$ 的唯一弱极限，且为非阿基米德设置下的平衡测度。
• 本文从退化分析中导出了对一维自同态族中极点附近李雅普诺夫指数爆破率的估计。
• 混合空间上模型函数一致极限的Monge-Ampère测度与测度序列 $\mu_t$ 的极限一致，从而在复动力系统与非阿基米德动力系统之间建立了桥梁。
• 本结果将DeMarco与Faber在 $k=1$ 时的收敛结果推广至高维射影空间，为未来该定理的进一步推广提供了框架。