[论文解读] Degeneration of Kahler-Ricci solitons on Fano manifolds

D. H. Phong, Jian Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 17

一句话总结

本文为具有有界Futaki不变量 $F$ 的 $n$-维Fano流形上的Kähler-Ricci孤立子建立了部分 $C^0$ 估计，证明了Bergman核的统一下界。作为推论，任何序列在 $\text{KR}(n,F)$ 中依Gromov-Hausdorff拓扑收敛于一个具有对数终端奇点的 $\bbQ$-Fano流形，该流形配备了一个极限Kähler-Ricci孤立子度量。

ABSTRACT

We consider the space KR(n,F) of Kahler-Ricci solitons on n-dimensional Fano manifolds with Futaki invariant bounded by F. We prove a partial C^0 estimate for KR(n,F) as a generalization of the recent work of Donaldson-Sun for Fano Kahler-Einstein manifolds. In particular, any sequence in KR(n,F) has a convergent subsequence in the Gromov-Hausdorff topology to a Kahler- Ricci soliton on a Q-Fano variety with log terminal singularities.

研究动机与目标

• 为具有有界Futaki不变量 $F$ 的Fano流形上的Kähler-Ricci孤立子建立部分 $C^0$ 估计，推广先前关于Kähler-Einstein度量的结果。
• 在Gromov-Hausdorff收敛意义下证明模空间 $\text{KR}(n,F)$ 的紧致性，将Donaldson-Sun的结果推广至孤立子情形。
• 证明 $\text{KR}(n,F)$ 中序列的Gromov-Hausdorff极限是一个具有对数终端奇点的 $\bbQ$-Fano流形，并且该流形上存在一个极限Kähler-Ricci孤立子结构。
• 建立紧化模空间的代数有界性，包括 $c_1^n$、分歧度量以及 $-K_X$ 的Cartier指标的有界性。

提出的方法

• 通过 $K_X^{-k}$ 的截面在 $L^2$ 内积和归一化度量下，对Bergman核 $\rho_{X,k}$ 建立统一下界，引入部分 $C^0$ 估计。
• 应用部分 $C^0$ 估计控制Bergman核的增长，推导出Ricci势和全纯向量场的统一有界性。
• 使用Gromov-Hausdorff收敛技术分析 $\text{KR}(n,F)$ 中序列的极限，证明其收敛于一个具有Kähler当前的度量长度空间。
• 通过体积形式的可积性与奇点的解析化，证明极限流形 $X_\f$ 是一个具有对数终端奇点的射影 $\bbQ$-Fano流形。
• 证明极限度量 $g_\f$ 是具有有界局部势的Kähler当前，在正则部分光滑，并且在正则部分满足Kähler-Ricci孤立子方程。
• 应用Monge-Ampère方程与Schwarz型估计，证明势函数 $u_\f$ 与向量场 $V_\f$ 一致有界且可全局延拓。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有有界Futaki不变量的Fano流形上的Kähler-Ricci孤立子建立部分 $C^0$ 估计？
• RQ2 模空间 $\text{KR}(n,F)$ 是否在Gromov-Hausdorff拓扑下存在紧化？其极限空间的性质是什么？
• RQ3 Gromov-Hausdorff极限上的极限度量是否为满足Kähler-Ricci孤立子方程的Kähler当前？
• RQ4 在紧化模空间上，$c_1^n$、分歧度量以及 $-K_X$ 的Cartier指标等代数不变量是否可统一有界？
• RQ5 所有 $n$-维Fano流形上的Futaki不变量是否一致有界？这对双有理几何中的有界性问题有何含义？

主要发现

• 存在 $k(n,F) \to \bbZ^+$ 和 $\f(n,F) > 0$，使得对所有 $(X,g) \to \text{KR}(n,F)$，Bergman核 $\rho_{X,k}$ 满足对所有 $z \to X$ 有 $\rho_{X,k}(z) \to \f$，从而建立部分 $C^0$ 估计。
• 任何序列在 $\text{KR}(n,F)$ 中依Gromov-Hausdorff拓扑收敛于一个紧致度量长度空间 $(X_\f, g_\f)$，该空间为具有对数终端奇点的 $\bbQ$-Fano流形。
• 极限度量 $g_\f$ 是具有有界局部势的Kähler当前，在正则部分光滑，并满足Kähler-Ricci孤立子方程 $Ric(g_\f) = g_\f + L_{V_\f}g_\f$。
• 流形 $X_\f$ 上的全纯向量场 $V_\f$ 全局定义且在 $L^\f$-范数下有界，且满足 $\f_{X_\f}(V_\f) \to F$，确保Futaki不变量一致有界。
• 紧化模空间 $\bar{\text{KR}}(n,F)$ 满足代数有界性：$-mK_X$ 是Cartier的，$[K_X]^n \to C(n,F)$，且 $discr(X) > -1 + \f(n,F)$，其中 $m, C, \f > 0$。
• 度量 $g_\f$ 的Ricci曲率在正则部分一致有界，且势函数 $u_\f$ 关于 $g_\f$ 的某个倍数是拟上半连续的。