[论文解读] Degeneration of moduli spaces and generalized theta functions

Xiaotao Sun|ArXiv.org|Jul 29, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 55

一句话总结

本文在节点曲线的半稳定无挠层模空间上建立了广义theta函数空间与归一化空间（一个亏格为 $g-1$ 的光滑曲线）上此类空间的直和之间的因子分解同构，该同构基于广义抛物层（GPS）构造和theta线丛的 $H^1$ 可去定理，将早期的秩二结果推广至任意秩 $r$。该工作为在共形场论与代数几何中研究模空间退化提供了基础框架。

ABSTRACT

We prove a factorization theorem of generalized functions for moduli spaces of semistable parabolic bundles of any rank.

研究动机与目标

• 将广义theta函数的因子分解规则从秩二推广至节点曲线上任意秩 $r$。
• 在亏格 $g \geq 3$ 的节点曲线上，建立半稳定无挠层模空间上theta线丛的 $H^1$ 可去定理。
• 通过节点处预像的抛物结构，将节点曲线上theta线丛全局截面空间与归一化曲线上此类空间的直和联系起来。
• 利用广义抛物层（GPS）构造，为奇异曲线与光滑曲线上的模空间关系提供几何框架。
• 将因子分解与可去定理的应用扩展至退化模空间背景下高秩向量丛的情形。

提出的方法

• 在节点曲线 $X$ 的归一化 $\widetilde{X}$ 上引入广义抛物层（GPS）构造，利用秩-$r$ 无挠层 $E$ 及其在节点预像处的 $E_{x_1} \oplus E_{x_2}$ 的商 $Q$。
• 定义 $\widetilde{X}$ 上半稳定GPS的模空间 $\Cal{P}$，并构造一个映射 $\pi: \Cal{P} \to \Cal{U}_X$，其值域为 $X$ 上无挠层的模空间，利用正合列 $0 \to F \to \pi_*E \to {}_{x_0}Q \to 0$。
• 通过涉及 $k, r, d, \ell, \alpha_x, \vec{a}(x), \vec{n}(x)$ 的极化条件，在 $\Cal{U}_X$ 上构造一个充分线丛 $\Theta_{\Cal{U}_X}$，并在抛物模空间 $\Cal{U}^\mu_{\widetilde{X}}$ 上定义 $\Theta_{\Cal{U}^\mu_{\widetilde{X}}}$，其权值由 $\mu = (\mu_1, \dots, \mu_r)$ 导出。
• 通过分析基于GPS的映射下线丛的直接像并利用群作用下的不变性，证明因子分解同构 $H^0(\Cal{U}_X, \Theta_{\Cal{U}_X}) \cong \bigoplus_\mu H^0(\Cal{U}^\mu_{\widetilde{X}}, \Theta_{\Cal{U}^\mu_{\widetilde{X}}})$。
• 利用Kodaira型可去定理与Cohen-Macaulay空间上具有有理奇点的上同调Hartogs型延拓，证明当 $g \geq 3$ 时 $H^1(\Cal{U}_X, \Theta_{\Cal{U}_X}) = 0$。
• 通过谱序列及在行列式映射 $Det: \Cal{P} \to J^d_{\widetilde{X}}$ 下直接像的分解，证明 $H^1(\Cal{P}, \Theta_{\Cal{P}}) = 0$，从而由因子分解结构推出其在 $\Cal{U}_X$ 上的可去性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将广义theta函数在节点曲线上从秩二推广至任意秩 $r$ 的因子分解规则？
• RQ2 在节点曲线上无挠层模空间上，theta线丛全局截面空间与归一化曲线上对应空间之间的精确关系是什么？
• RQ3 在亏格 $g \geq 3$ 的节点曲线上，半稳定无挠层模空间上theta线丛的一阶上同调是否为零？
• RQ4 广义抛物层（GPS）构造能否以保持广义theta函数结构的方式，将奇异曲线与光滑曲线上的模空间关联起来？
• RQ5 在权重与抛物结构上需满足何种条件，才能保证节点曲线与归一化曲线上全局截面之间存在良好定义的同构？

主要发现

• 因子分解同构 $H^0(\Cal{U}_X, \Theta_{\Cal{U}_X}) \cong \bigoplus_\mu H^0(\Cal{U}^\mu_{\widetilde{X}}, \Theta_{\Cal{U}^\mu_{\widetilde{X}}})$ 对任意秩 $r$ 成立，推广了早期的秩二结果。
• 空间 $H^0(\Cal{U}_X, \Theta_{\Cal{U}_X})$ 按所有满足 $0 \leq \mu_r \leq \cdots \leq \mu_1 \leq k-1$ 的 $\mu = (\mu_1, \dots, \mu_r)$ 进行直和分解，索引由节点预像处的权值决定。
• 当 $g \geq 3$ 时，一阶上同调群 $H^1(\Cal{U}_X, \Theta_{\Cal{U}_X})$ 为零，这确保了 $\dim H^0(\Cal{U}_X, \Theta_{\Cal{U}_X}^k)$ 在退化过程中的常数性。
• 通过谱序列及在行列式映射下直接像的分解，建立了 $\widetilde{X}$ 上广义抛物层模空间 $\Cal{P}$ 的 $H^1$ 可去性。
• theta线丛 $\Theta_{\Cal{U}_X}$ 的构造通过涉及 $k, r, d, \ell, \alpha_x, \vec{a}(x), \vec{n}(x)$ 的极化条件显式定义，满足关系式 $\sum_{x\in I} \sum_{i=1}^{l_x} d_i(x)r_i(x) + r\sum_{x\in I} \alpha_x + r\ell = k(d + r(1-g))$。
• 证明依赖于 $\Cal{H}^L$ 与 $\Cal{P}^L$ 为Cohen-Macaulay且具有有理奇点的事实，从而可应用Kodaira型与Hartogs型定理进行上同调延拓。