[论文解读] Degree and algebraic properties of lattice and binomial matrix ideals

Liam O’Carroll, Francesc Planas-Vilanova+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 17被引用 2

一句话总结

本文利用因子群的挠性与格多面体的相对体积，为任意域上的非齐次格理想建立了度的公式。该研究将Eisenbud-Sturmfels理论扩展至格理想的准分解，并引入广义正临界二项式（GPCB）矩阵，证明其在转置下封闭，同时将图的拉普拉斯理想与托普pling理想之度与沙堆群的阶联系起来。

ABSTRACT

We study the degree of non-homogeneous lattice ideals over arbitrary fields, and give formulae to compute the degree in terms of the torsion of certain factor groups of Z^s and in terms of relative volumes of lattice polytopes. We also study primary decompositions of lattice ideals over an arbitrary field using the Eisenbud-Sturmfels theory of binomial ideals over algebraically closed fields. We then use these results to study certain families of integer matrices (PCB, GPCB, CB, GCB matrices) and the algebra of their corresponding matrix ideals. In particular, the family of generalized positive critical binomial matrices (GPCB matrices) is shown to be closed under transposition, and previous results for PCB ideals are extended to GPCB ideals. Then, more particularly, we give some applications to the theory of 1-dimensional binomial ideals. If G is a connected graph, we show as a further application that the order of its sandpile group is the degree of the Laplacian ideal and the degree of the toppling ideal. We also use our earlier results to give a structure theorem for graded lattice ideals of dimension 1 in 3 variables and for homogeneous lattices in Z^3 in terms of critical binomial ideals (CB ideals) and critical binomial matrices, respectively, thus complementing a well-known theorem of Herzog on the toric ideal of a monomial space curve.

研究动机与目标

• 推导任意域上非齐次格理想的度的显式公式。
• 将Eisenbud-Sturmfels在代数闭域上对二项式理想的理论扩展至任意域上的准分解。
• 研究特定整数矩阵族（PCB、GPCB、CB与GCB矩阵）所生成的矩阵理想的代数性质。
• 建立GPCB矩阵在转置下的封闭性，并推广关于PCB理想的先前结果。
• 将结果应用于一维二项式理想，并将图的拉普拉斯理想与托普pling理想的度与沙堆群的阶联系起来。

提出的方法

• 利用Z^s的因子群的挠性来计算格理想的度。
• 应用格多面体的相对体积作为几何工具以确定度。
• 应用Eisenbud-Sturmfels在代数闭域上对二项式理想的理论，分析准分解。
• 引入并表征广义正临界二项式（GPCB）矩阵及其代数性质。
• 将结果应用于一维二项式理想，并建立关于三变量中分次格理想与Z^3中齐次格的结构定理。
• 通过度的计算，将图的拉普拉斯理想与托普pling理想的度与沙堆群的阶联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用群挠性与多面体体积计算任意域上非齐次格理想的度？
• RQ2 由广义正临界二项式（GPCB）矩阵生成的格理想的代数性质是什么？它们在转置下是否封闭？
• RQ3 格理想的准分解在任意域上如何表现？是否可扩展Eisenbud-Sturmfels理论？
• RQ4 三变量中一维分次格理想具有何种结构？它们与临界二项式理想有何关联？
• RQ5 图的拉普拉斯理想的度与沙堆群阶之间存在何种联系？

主要发现

• 非齐次格理想的度由Z^s的某个因子群的挠性决定。
• 该度也可表示为与理想相关的格多面体的相对体积。
• 广义正临界二项式（GPCB）矩阵族在转置下封闭。
• 连通图的沙堆群的阶等于其拉普拉斯理想与托普pling理想的度。
• 建立了三变量中一维分次格理想的结构定理，其以临界二项式理想为表达形式。
• 对于Z^3中的齐次格，其对应格理想的结构通过临界二项式矩阵得以刻画。