[论文解读] Degree Formulae for Grassmann Bundles, II

Hajime Kaji, Tomohide Terasoma|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文为在非奇异拟射影代数簇上，格拉斯曼丛上的普吕克线丛的陈特征的前推建立了闭合公式，该公式以基向量丛的塞雷类表示。关键贡献是在部分旗丛的查沃环中提出了一种新的前推公式，使得当丛的行列式为非常 ample 时，可对格拉斯曼丛的次数进行计算。

ABSTRACT

Let $X$ be a non-singular quasi-projective variety over a field, and let $\mathcal E$ be a vector bundle over $X$. Let $\mathbb G_X({d}, \mathcal E)$ be the Grassmann bundle of $\mathcal E$ over $X$ parametrizing corank $d$ subbundles of $\mathcal E$ with projection $π: {\mathbb G_X({d}, \mathcal E)} o X$, and let $ \mathcal Q \gets π^*\mathcal E$ be the universal quotient bundle of rank $d$. In this article, a closed formula for $π_{*}\operatorname{ch} (\det \mathcal Q)$, the push-forward of the Chern character of the Plücker line bundle $\det \mathcal Q$ by $π$ is given in terms of the Segre classes of $\mathcal E$. Our formula yields a degree formula for $\mathbb G_X({d}, \mathcal E)$ with respect to $\det \mathcal Q$ when $X$ is projective and $\wedge ^d \mathcal E$ is very ample. To prove the formula above, a push-forward formula in the Chow rings from a partial flag bundle of $\mathcal E$ to $X$ is given.

研究动机与目标

• 推导格拉斯曼丛上普吕克线丛的陈特征前推的闭合表达式，该丛定义在非奇异拟射影代数簇上。
• 当行列式丛为非常 ample 时，提供通过普吕克嵌入嵌入的格拉斯曼丛的次数公式。
• 在部分旗丛的查沃环中建立一种新颖的前推公式，避免依赖于 J\'{o}zefiak-Lascoux-Pragacz 的先前结果。
• 以塞雷类与施温多项式表达陈特征前推，提供代数与几何解释。
• 在反对称化与查沃环中生成函数的背景下，推广柯西行列式公式。

提出的方法

• 引入参数化向量丛 $\mathcal{E}$ 上余秩为 $d$ 的子丛的格拉斯曼丛 $\mathbb{G}_X(d,\mathcal{E})$，其通用商丛 $\mathcal{Q}$ 的秩为 $d$。
• 定义普吕克类 $\theta = c_1(\det\mathcal{Q})$，并在查沃环 $A^*(X) \otimes \mathbb{Q}$ 中研究前推 $\pi_*\operatorname{ch}(\det\mathcal{Q})$。
• 利用 $\mathcal{Q}$ 的陈根 $\xi_0,\dots,\xi_{d-1}$，在部分旗丛 $\mathbb{F}_X^d(\mathcal{E})$ 上构造前推公式，并将多项式 $F(\underline{\xi})$ 的前推表达为洛朗级数的常数项。
• 使用反对称算子 $\mathcal{A}$ 与柯西行列式恒等式，推导出陈根中单项式系数的生成函数。
• 将公式应用于表达 $\pi_*\operatorname{ch}(\det\mathcal{Q})$ 为涉及塞雷类与施温多项式的分拆和。
• 建立新的前推公式：$p_*F(\underline{\xi}) = \operatorname{const}_{\underline{t}}\Big{(}\Delta(\underline{t})\prod_{i=0}^{d-1}t_i^{r-d}F(1/\underline{t})\prod_{i=0}^{d-1}s(\mathcal{E},t_i)\Big{)}$ 在 $A^*(X)$ 中。

实验结果

研究问题

• RQ1 格拉斯曼丛上普吕克线丛的陈特征前推的闭合表达式是什么？
• RQ2 如何代数地计算通过普吕克嵌入嵌入的格拉斯曼丛的次数？
• RQ3 能否在不依赖 J\'{o}zefiak-Lascoux-Pragacz 公式的情况下，从部分旗丛的查沃环中推导出新的前推公式？
• RQ4 丛 $\mathcal{E}$ 的塞雷类与格拉斯曼丛 $\mathbb{G}_X(d,\mathcal{E})$ 上陈特征前推之间有何关系？
• RQ5 在格拉斯曼丛次数公式的背景下，塞雷类中的施温多项式如何自然出现？

主要发现

• 本文在 $A^*(X) \otimes \mathbb{Q}$ 中为 $\pi_*\operatorname{ch}(\det\mathcal{Q})$ 提供了闭合公式，其表达为对非负整数 $d$-元组 $k = (k_0,\dots,k_{d-1})$ 的求和，涉及索引差积与阶乘的乘积，权重为塞雷类 $s_{k_i}(\mathcal{E})$。
• 当 $X$ 为射影的且 $\wedge^d\mathcal{E}$ 为非常 ample 时，格拉斯曼丛 $\mathbb{G}_X(d,\mathcal{E})$ 的次数为 $\deg = (d(r-d)+n)! \sum_{|k|=n} \frac{\prod_{0\leq i<j\leq d-1}(k_i - k_j - i + j)}{\prod_{0\leq i\leq d-1}(r + k_i - i)!} \int_X \prod_{i=0}^{d-1} s_{k_i}(\mathcal{E})$。
• 以施温多项式表示的 $\pi_*\operatorname{ch}(\det\mathcal{Q})$ 的另一种表达式为：$\sum_{\lambda} \frac{1}{|\lambda + \varepsilon|!} f^{\lambda + \varepsilon} \Delta_\lambda(s(\mathcal{E}))$，其中 $\varepsilon = (r-d)^d$，$f^{\lambda + \varepsilon}$ 为形状 $\lambda + \varepsilon$ 的标准杨表个数，$\Delta_\lambda(s(\mathcal{E}))$ 为塞雷类中的施温多项式。
• 部分旗丛上的前推公式通过反对称化与生成函数推导得出，关键恒等式为 $\mathcal{A}\Big{(}\frac{\Delta(\xi_0,\dots,\xi_{d-1})\Delta(\xi_d,\dots,\xi_{r-1})}{\prod_{i,j=0}^{d-1}(\tau_j - \xi_i)}\Big{)} = \frac{\Delta(\xi_0,\dots,\xi_{r-1})}{\prod_{i,j}(\tau_j - \xi_i)}$。
• 陈根中单项式系数的生成函数 $G(\underline{t})$ 被证明等于 $\Delta(t_0,\dots,t_{d-1}) \prod_{i=0}^{d-1} t_i^{r-d} s(\mathcal{E}, t_i)$，通过反对称化与柯西行列式恒等式确认了主公式。
• 该证明避免使用 J\'{o}zefiak-Lascoux-Pragacz 前推公式，提供了一种基于对称函数理论与代数几何中查沃环技术的新且自包含的推导。