[论文解读] Degree growth for tame automorphisms of an affine quadric threefold

Nguyen-Bac Dang|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 36被引用 4

一句话总结

本论文通过在CAT(0)正方形复形上的几何群作用，研究了由 $xt - yz - 1 = 0$ 定义的仿射二次曲面三倍体上的驯服自同构的度增长。证明了任意此类自同构的首阶动力系统度 $\lambda_1(f)$ 要么为1，要么至少为 $4/3$，并刻画了随机乘积在何种情况下表现出正的度增长指数，从而解决了Urech在此设定下的一个问题。

ABSTRACT

In this paper, we consider the degree sequences of the tame automorphisms preserving an affine quadric threefold. Using some valuatives estimates derived from the work of Shestakov-Umirbaev and the action of this group on a CAT(0), Gromov-hyperbolic square complex constructed by Bisi-Furter-Lamy, we prove that the dynamical degrees of tame elements avoid any value strictly between 1 and 4/3. As an application, these methods allow us to characterize when the growth exponent of the degree of a random product of finitely many tame automorphisms is positive.

研究动机与目标

• 理解代数闭零特征域上仿射二次曲面三倍体上迭代驯服自同构的渐近度增长。
• 确定该三倍体上驯服自同构的首阶动力系统度 $\lambda_1(f)$ 的可能取值。
• 刻画有限个驯服自同构的随机乘积在何种情况下具有正的度增长指数。
• 解决Urech（2016）关于 $\lambda_1(f) = 1$ 的自同构是否存在纤维化或线性共轭的问题。

提出的方法

• 利用Shestakov-Umirbaev理论导出的赋值估计，分析自同构的度序列。
• 应用驯服自同构群在Bisi-Furter-Lamy构造的 $\operatorname{CAT}(0)$、Gromov双曲正方形复形上的作用。
• 利用群作用的结构，根据度增长将自同构分类为三类：有界、线性或指数增长。
• 利用随机游走在此正方形复形及其相关Bass-Serre树上的漂移，分析度序列的增长指数。
• 应用群与树上随机游走的大数定律，估计随机乘积的渐近度增长。
• 依赖等距群作用与复形中的距离估计，通过常数 $4/3$ 从下方界定度增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 驯服自同构在仿射二次曲面三倍体上的首阶动力系统度 $\lambda_1(f)$ 可能取哪些值？
• RQ2 在何种条件下，驯服自同构的随机乘积表现出正的度增长指数？
• RQ3 当 $\lambda_1(f) = 1$ 时，驯服自同构何时共轭于线性映射或保持一个纤维化？
• RQ4 是否能通过几何群作用完全分类迭代驯服自同构的度增长？
• RQ5 群作用在 $\operatorname{CAT}(0)$ 正方形复形上的结构与渐近度行为之间有何关系？

主要发现

• 任意驯服自同构 $f$ 在仿射二次曲面三倍体上的首阶动力系统度 $\lambda_1(f)$ 满足 $\lambda_1(f) \in \{1\} \cup [4/3, \infty)$，且在1与 $4\!\!\:/\!\!\!3$ 之间无其他取值。
• 对任意驯服自同构 $f$，度序列 $\deg(f^n)$ 与 $\deg(f^{-n})$ 要么有界，要么线性增长，要么至少以 $\left(\frac{4}{3}\right)^n$ 的速率指数增长。
• 若 $\lambda_1(f) = 1$，则 $f$ 要么保持一个纤维化，要么共轭于一个线性映射，且 $\deg(f^n)$ 与 $\deg(f^{-n})$ 要么有界，要么线性增长。
• 有限个驯服自同构随机乘积的度增长指数 $\lambda$ 为正，当且仅当生成的群在正方形复形中是非初等的，或在相关Bass-Serre树中包含非交换的双曲等距变换。
• 若群为初等或所有元素的度有统一有界，则增长指数 $\lambda$ 为零；否则为正，此结论通过几何复形上随机游走的漂移得到证明。
• 本文在这一特例中证实了Urech（2016）的猜想：满足 $\lambda_1(f) = 1$ 的自同构要么保持纤维化，要么共轭于线性映射。