[论文解读] Degree Monotone Paths

Yair Caro, Josef Lauri+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文引入并分析了图中的度单调路径——即路径上顶点度数非递减或非递增的路径。通过应用Gallai-Roy定理并关联到Turán数，本文建立了此类路径最大长度的界限，推导出$mp(G) + mp(\overline{G})$的Nordhaus-Gaddum型不等式，并证明了$mp(G) \geq \chi(G)$，且在最大外平面图中进一步改进。主要贡献在于为$mp(G) + mp(\overline{G})$建立了$2\sqrt{n}$的精确下界，并通过构造表明该界对某些图族是紧的。

ABSTRACT

We shall study degree-monotone paths in graphs, a problem inspired by the celebrated theorem of Erd{ő}s-Szekeres concerning the longest monotone subsequence of a given sequence of numbers. A path P in a graph G is said to be a degree monotone path if the sequence of degrees of the vertices in P in the order they appear in P is monotonic. In this paper we shall consider these three problem related to this parameter: 1. Find bounds on $mp(G)$ in terms of other parameters of $G$. 2. Study $f(n,k)$ defined to be the maximum number of edges in a graph on $n$ vertices with $mp(G) < k$. 3. Estimate the minimum and the maximum over all graph $G$ on $n$ vertices of $mp(G)+mp(\overline{G})$. For the first problem our main tool will be the Gallai-Roy Theorem on directed paths and chromatic number. We shall also consider in some detail maximal planar and maximal outerplanar graphs in order to investigate the sharpness of the bounds obtained. For the second problem we establish a close link between $f(n,k)$ and the classical Turan numbers. For the third problem we establish some Nordhaus-Gaddum type of inequalities. We conclude by indicating some open problems which our results point to.

研究动机与目标

• 研究图中度单调路径的最大长度，定义为路径上顶点度数非递减或非递增的路径。
• 根据色数$\chi(G)$及其他图参数，建立$mp(G)$（最长度单调路径的长度）的界限。
• 研究$f(n,k)$，即在$n$阶图中不包含长度为$k$的度单调路径时的最大边数，并将其与经典Turán数关联。
• 确定所有$n$阶图中$mp(G) + mp(\overline{G})$的最小值与最大值，将Nordhaus-Gaddum型结果扩展至$mp$参数。

提出的方法

• 通过基于度数的边定向方法，应用Gallai-Roy定理于有向路径与色数，推导出下界$mp(G) \geq \chi(G)$。
• 在最大外平面图中使用轻边技术，证明当$n \geq 5$时$mp(G) \geq 4$，优于一般色数$\chi(G)$的界限。
• 通过基于Albertson早期工作的极值图构造，建立$f(n,k)$与Turán数之间的联系。
• 应用色数的Nordhaus-Gaddum界，推导出$mp(G) + mp(\overline{G})$的界限，证明$2\sqrt{n} \leq mp(G) + mp(\overline{G}) \leq 2n$。
• 通过构造特定图族（如不相交的团及其补图）证明界限的紧致性。
• 使用极值图构造表明$f(n,k) \geq g(n,k)$，并提出猜想：当$n \geq \frac{(k-1)(k+2)}{2}$时等式成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 以$\chi(G)$表示时，$mp(G)$的最佳可能下界是什么？对于最大外平面图等特定图类，该下界能否改进？
• RQ2 $f(n,k)$（$n$阶图中不包含长度为$k$的度单调路径时的最大边数）与经典Turán数有何关系？
• RQ3 所有$n$阶图中$mp(G) + mp(\overline{G})$的最紧致界限是什么？下界$2\sqrt{n}$是否为精确的？
• RQ4 $mp(G) \geq \chi(G)$的界限能否在最大平面图中改进？是否存在任意大的最大平面图使得$mp(G) = \chi(G) = 3$？
• RQ5 $f(n,k)$是否精确等于$g(n,k)$（度序列互不相同且和为$n$的图的最大边数）？

主要发现

• 对每个图$G$，有$mp(G) \geq \chi(G)$，且该界是紧的，如各部分大小不同的完全$k$-部图所示。
• 在具有$n \geq 5$个顶点的最大外平面图中，有$mp(G) \geq 4$，优于基于$\chi(G)$的界限，且该界为最佳。
• 存在任意大的最大平面图，使得$\chi(G) = mp(G) = 4$，表明该$\chi(G)$界对这类图是紧的。
• $mp(G) + mp(\overline{G})$满足$2\sqrt{n} \leq mp(G) + mp(\overline{G}) \leq 2n$，且两个界均为紧：上界由$K_n$减去一个哈密顿圈实现，下界通过不相交团的构造趋近。
• 函数$f(n,k)$（$n$阶图中不包含长度为$k$的度单调路径时的最大边数）满足$f(n,k) \geq g(n,k)$，作者猜想当$n \geq \frac{(k-1)(k+2)}{2}$时等式成立。
• 构造表明当$n$为偶平方数时$mp(G) + mp(\overline{G}) = \frac{5\sqrt{n}}{2}$，说明$2\sqrt{n}$下界并非总是紧，但渐近阶是正确的。