[论文解读] Degree of complex algebraic sets under bi-Lipschitz homeomorphisms at infinity

Alexandre Fernandes, José Edson Sampaio|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 1

一句话总结

本文建立了复解析芽的多重性在局部和无穷远处关于外双李普希茨同胚下的不变性，以及复仿射集的次数在相同条件下的不变性。证明了局部情形下多重性的不变性等价于全局情形下次数的不变性，并通过切锥和无穷远处相对多重性的分析，证实了曲线与曲面的不变性。

ABSTRACT

We study invariance of multiplicity of complex analytic germs and degree of complex affine sets under outer bi-Lipschitz transformations (outer bi-Lipschitz homeomorphims of germs in the first case and outer bi-Lipschitz homeomorphims at infinity in the second case). We prove that invariance of multiplicity in the local case is equivalent to invariance of degree in the global case. We prove invariance for curves and surfaces. In the way we prove invariance of the tangent cone and relative multiplicities at infinity under outer bi-Lipschitz homeomorphims at infinity, and that the abstract topology of a homogeneous surface germ determines its multiplicity.

研究动机与目标

• 研究复解析芽的多重性是否在外部双李普希茨同胚下保持不变。
• 确定复仿射代数集的次数是否在无穷远处的外部双李普希茨同胚下保持不变。
• 建立局部情形下多重性不变性与全局情形下次数不变性之间的对应关系。
• 分析此类同胚下无穷远处切锥与相对多重性的行为。
• 证明齐次曲面芽的抽象拓扑结构可唯一确定其多重性。

提出的方法

• 分析复解析芽之间外双李普希茨同胚及其对局部不变量（如多重性）的影响。
• 将分析扩展至复仿射代数集在无穷远处的外双李普希茨同胚。
• 利用无穷远处切锥结构与相对多重性研究次数不变性。
• 应用齐次曲面芽的拓扑不变量推导多重性不变性。
• 建立在同类型映射下，局部多重性不变性与全局次数不变性之间的等价性。
• 运用实几何与复几何的技术，特别是双李普希茨等价理论，比较几何与拓扑性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 复解析芽的多重性是否在外部双李普希茨同胚下保持不变？
• RQ2 复仿射代数集的次数是否在无穷远处的外部双李普希茨同胚下保持不变？
• RQ3 局部情形下多重性不变性是否蕴含全局情形下次数不变性，反之亦然？
• RQ4 无穷远处外双李普希茨同胚下，切锥与相对多重性如何变化？
• RQ5 齐次曲面芽的抽象拓扑结构是否可唯一确定其多重性？

主要发现

• 复解析芽在外部双李普希茨同胚下的多重性不变性，等价于复仿射集在无穷远处此类映射下次数的不变性。
• 本文证明了复曲线与曲面在外部双李普希茨同胚下多重性保持不变。
• 无穷远处的相对多重性及切锥结构在外双李普希茨同胚下保持不变。
• 对于齐次曲面芽，其抽象拓扑结构唯一确定其多重性。
• 分析结果证实，无穷远处的双李普希茨等价性保持了诸如次数与多重性等关键代数几何不变量。
• 研究结果将双李普希茨不变量在复代数几何中的理解，从局部奇点扩展至全局仿射集。