[论文解读] Degree powers in graphs with forbidden even cycle

Vladimir Nikiforov|ArXiv.org|Mar 31, 2009

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文解决了Caro和Yuster关于不含偶圈 $ C_{2k+2} $ 的图中顶点度数 $ p $ 次幂之和最大值的猜想。通过提出一种关于图中长路径存在的新颖充分条件，作者证明该最大和渐近为 $ kn^p(1 + o(1)) $，并利用度序列分析与谱图论技术建立了紧致上界。

ABSTRACT

We prove a conjecture of Yuster and Caro about the sum of the p-powers of the degrees of a graph of order n without a specified even cycle. Our proof is based on a new sufficient condition for long paths, that may be useful in other applications as well.

研究动机与目标

• 解决Caro和Yuster关于不含偶圈 $ C_{2k+2} $ 的图中顶点度数 $ p $ 次幂之和最大值的猜想。
• 为阶为 $ n $ 的 $ C_{2k+2} $-自由图中 $ extstyleigsum_{u otin V(G)} d^p(u) $ 的和建立渐近紧致上界。
• 提出并应用一种关于长路径存在的新充分条件，该条件在证明中起核心作用，且路径的两个端点位于给定顶点集中。
• 推导出约束 $ C_{2k+2} $-自由图结构的谱与度数相关不等式，从而得出主要结果。
• 提供一个简洁且通用的界，适用于所有 $ p o ext{infty} $，并超越二次度数和的范围。

提出的方法

• 提出一个新的充分条件（引理1），用于判断图中在划分为两组 $ A $ 和 $ B $ 时，长路径的存在性，该条件基于涉及 $ A $ 的边数以及 $ A $ 与 $ B $ 之间的边数。
• 将引理1应用于顶点 $ u $ 的邻域，将 $ G - u $ 划分为 $ A = \text{u 的邻居} $ 和 $ B = \text{非邻居} $，以避免存在长度为 $ 2k+1 $ 的 $ A $-路径。
• 利用此类路径的缺失，推导出关于 $ u $ 的邻居度数之和的不等式，从而得出 $ extstyleigsum_{v otin ext{N}(u)} d(v) \text{ 受限于 } kd(u) + k(n-1) $。
• 对所有顶点 $ u $ 求和，将双重和转化为 $ extstyleigsum_{v} d^2(v) $，并应用AM-QM不等式以界定边数。
• 通过利用边数界 $ m = O(n^{3/2}) $，将二次界推广至更高阶 $ p o ext{infty} $，从而得出 $ extstyleigsum d^p(u) \text{ 受限于 } kn^p + O(n^{p-1/2}) $。
• 运用谱图论推导出邻接矩阵最大特征值 $ u $ 的界：$ u^2 - k u \text{ 受限于 } k(n-1) $，从而支持主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阶为 $ n $ 且不包含圈 $ C_{2k+2} $ 的图中，$ extstyleigsum_{u otin V(G)} d^p(u) $ 的最大可能值是多少？
• RQ2 能否利用关于图中长路径存在的新充分条件，推导出 $ C_{2k+2} $-自由图中度数幂和的紧致界？
• RQ3 猜想 $ extstyleigsum d^p(u) = kn^p(1 + o(1)) $ 是否对所有 $ p o ext{infty} $ 在 $ C_{2k+2} $-自由图中成立？
• RQ4 度序列与谱性质如何约束不含长度为 $ 2k+2 $ 的偶圈的图的结构？
• RQ5 能否通过组合与谱技术，将平方度数和的界推广至更高阶幂？

主要发现

• 在阶为 $ n $ 的 $ C_{2k+2} $-自由图中，顶点度数 $ p $ 次幂之和的最大值渐近为 $ kn^p(1 + o(1)) $，从而证实了Caro-Yuster猜想。
• 当 $ p = 2 $ 时，和 $ extstyleigsum d^2(u) $ 的上界为 $ 2km + k(n-1)n $，其中 $ m $ 为边数，且该界在低阶项意义下是紧致的。
• 在 $ C_{2k+2} $-自由图中，边数 $ m $ 满足 $ m = O(n^{3/2}) $，该结果由二次界与AM-QM不等式推导得出。
• 对所有 $ p o ext{infty} $，有 $ extstyleigsum d^p(u) \text{ 受限于 } kn^p + O(n^{p-1/2}) $，表明度数 $ p $ 次幂和在 $ kn^p $ 附近高度集中。
• 对于 $ C_{2k+2} $-自由图中邻接矩阵的最大特征值 $ u $，谱界 $ u^2 - k u \text{ 受限于 } k(n-1) $ 成立，从而支持主要结果。
• 新路径存在性引理（引理1）为分析不含偶圈的极值图提供了强大工具，且可能适用于其他极值图论问题。