[论文解读] Degree sum conditions for graphs to have proper connection number 2

Hong Chang, Zhong Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文建立了保证连通图或二分图具有恰当连接数 2 的度和条件。证明了在阶数 $ n \geq 5 $ 的非完全图中，若每对非邻接顶点的度数之和至少为 $ n/2 $，则 $ pc(G) = 2 $，但有三个例外图不满足此条件。对于阶数 $ n \geq 4 $ 的二分图，条件 $ d(x)+d(y) \geq (n+6)/4 $ 可确保 $ pc(G) = 2 $。通过构造方法证明了这些界是最优的。

ABSTRACT

A path $P$ in an edge-colored graph $G$ is a \emph{proper path} if no two adjacent edges of $P$ are colored with the same color. The graph $G$ is \emph{proper connected} if, between every pair of vertices, there exists a proper path in $G$. The \emph{proper connection number} $pc(G)$ of a connected graph $G$ is defined as the minimum number of colors to make $G$ proper connected. In this paper, we study the degree sum condition for a general graph or a bipartite graph to have proper connection number 2. First, we show that if $G$ is a connected noncomplete graph of order $n\geq 5$ such that $d(x)+d(y)\geq \frac{n}{2}$ for every pair of nonadjacent vertices $x,y\in V(G)$, then $pc(G)=2$ except for three small graphs on 6, 7 and 8 vertices. In addition, we obtain that if $G$ is a connected bipartite graph of order $n\geq 4$ such that $d(x)+d(y)\geq \frac{n+6}{4}$ for every pair of nonadjacent vertices $x,y\in V(G)$, then $pc(G)=2$. Examples are given to show that the above conditions are best possible.

研究动机与目标

• 确定连通图具有恰当连接数 2 的充分度和条件。
• 将先前关于最小度的结果推广为度和条件，此类条件更一般且通常更紧致。
• 为一般图与二分图建立确保 $ pc(G) = 2 $ 的最优度和界。
• 识别并排除在度和条件不成立但仍满足 $ pc(G) = 2 $ 的小型例外图。

提出的方法

• 作者利用图的桥-块树结构分析其连通性与边染色性质。
• 应用极值图论技术，特别是度和论证，推导出低恰当连接数图的结构约束。
• 证明过程基于桥-块树结构及最小度顶点分布进行分类讨论。
• 通过构造极值图证明度和界是最优的，从而验证条件的紧致性。
• 对于二分图，该方法利用二分划分结构与度约束，限制叶块的数量与大小。
• 分析包括对子图之间顶点集与边集的计数，并利用不等式在假设被违反时导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非邻接顶点对上，何种度和条件可保证一般连通非完全图具有恰当连接数 2？
• RQ2 与先前关于 $ pc(G) = 2 $ 的最小度结果相比，能否改进或收紧度和条件？
• RQ3 二分图确保 $ pc(G) = 2 $ 的最佳可能度和界是什么？
• RQ4 是否存在小的例外图，其度和条件不成立但仍有 $ pc(G) = 2 $？
• RQ5 能否通过极值构造证明度和界是最优的？

主要发现

• 对于任意阶数 $ n \geq 5 $ 的连通非完全图 $ G $，若所有非邻接顶点对 $ x,y $ 满足 $ d(x) + d(y) \geq n/2 $，则 $ pc(G) = 2 $，但有三个特定图（分别在 6、7 和 8 个顶点上）例外。
• 度和条件 $ d(x) + d(y) \geq n/2 $ 是最优的，通过构造条件不成立但 $ pc(G) > 2 $ 的图得以证明。
• 对于阶数 $ n \geq 4 $ 的连通二分图，若所有非邻接顶点对 $ x,y $ 满足 $ d(x) + d(y) \geq (n+6)/4 $，则 $ pc(G) = 2 $。
• 二分图的界 $ (n+6)/4 $ 同样是最优的，通过极值例子表明，若放宽条件则会出现 $ pc(G) > 2 $。
• 定理 1.3 中的例外图被明确识别并从主结论中排除，从而确认了边界的紧致性。
• 证明依赖于桥-块树的结构分析，以及对叶块与中心块中顶点和边的精确计数。