[论文解读] Degree three cohomology of function fields of surfaces

R. Parimala, V. Suresh|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文在有限域上曲面的函数域中建立了三阶上同调类的局部-整体原则，证明了若 $ H^3(F, \mu_l^{\tens 3}) $ 中的类在局部可表示为 $ H^2(F, \mu_l^{\tens 2}) $ 中给定符号与 $ H^1(F, \mu_l) $ 中类的上积，则该类为符号类。该结果表明当 $ F $ 包含一个本原 $ l $-次单位根时，$ H^3(F, \mu_l^{\tens 3}) $ 中每个元素均为符号类，从而推广了已知的 $ l=2 $ 情形，并在整数 Tate 猜想与正特征全球域上零次循环的 Brauer–Manin 障碍问题中具有应用。

ABSTRACT

Let F be a finite field and l a prime not equal to the characteristic of F. Let K be the function field of a surface over F. Assume that K contains a primitive lth root of unity. In the paper we prove a certain local-global principle for elements of H^3(K, μ_l) in terms of symbols in H^2(K, μ_l) with respect to discrete valuations of K. We also show that this local global principle is equivalent to the vanishing of certain unramified cohomology groups of 3-folds over finite fields. Using this local-global principle we show that every element in H^3(F, μ_l) is a symbol. The vanishing of the unramified cohomology groups has consequences in the study of integral Tate conjecture and Brauer-Manin obstruction for existence of zero-cycles.

研究动机与目标

• 在有限域上曲面的函数域中，建立三阶上同调类表示为固定符号与 $ H^1(F, \mu_l) $ 中类的上积的局部-整体原则。
• 证明当 $ F $ 是有限域上曲面的函数域且包含一个本原 $ l $-次单位根时，$ H^3(F, \mu_l^{\tens 3}) $ 中每个元素均为符号类。
• 将局部-整体原则应用于证明：对于有限域上曲面的有理曲面族，其有理函数域的非分歧上同调群 $ H^3_{nr}(K(C)/k, \mu_n^{\tens 2}) $ 为零。
• 推导出关于有限域上某些三流形上一维闭链的整数 Tate 猜想的结论。
• 证明在正特征全球域上曲线的有理曲面族的通用纤维上，零次循环存在性的 Brauer–Manin 障碍是唯一障碍。

提出的方法

• 在 $ p $-进域或有限域的整数环上，对函数域 $ K $ 构造一个正则模型 $ \mathscr{X} $，并控制上同调类的分歧支集。
• 通过局部域上二次型的各向同性，利用配凑与弱逼近方法，在二次曲面族上构造全局解。
• 应用各向同性二次曲面的弱逼近性质，将模 $ \pi_i $ 的局部解提升为 $ B/\pi_i $ 上的全局解。
• 利用 $ H^3_{nr}(K/\mathscr{X}, \mu_l) = 0 $ 的事实，当局部解存在时，推出全局解的存在性。
• 利用同构 $ H^1(F, \mu_l) \simeq F^*/F^{*l} $，将上积条件解释为函数域中乘法类的形式。
• 通过第一余数理论与估值环理论，将问题约化为局部域上二次型 $ q_1 \perp \langle -g' \rangle $ 的各向同性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ F $ 是有限域上曲面的函数域且包含一个本原 $ l $-次单位根时，$ H^3(F, \mu_l^{\tens 3}) $ 中的每个元素是否都成为符号类？
• RQ2 能否在有限域上曲面的函数域中，为 $ H^3(F, \mu_l^{\tens 3}) $ 中类的表示建立一个局部-整体原则，使其为 $ H^2(F, \mu_l^{\tens 2}) $ 中固定符号与 $ H^1(F, \mu_l) $ 中类的上积？
• RQ3 对于特征 $ \neq 2 $ 的有限域上曲面的有理曲面族，是否成立 $ H^3_{nr}(K(C)/k, \mu_n^{\tens 2}) = 0 $ ？
• RQ4 在正特征全球域上曲线的有理曲面族的通用纤维上，零次循环存在性的 Brauer–Manin 障碍是否为唯一障碍？
• RQ5 三流形 $ Y $ 上的局部-整体原则是否蕴含上同调类映射 $ CH^2(Y) \otimes \mathbb{Z}_l \to H^4(Y, \mathbb{Z}_l(2)) $ 的满射性？

主要发现

• 当 $ F $ 是有限域上曲面的函数域且包含一个本原 $ l $-次单位根时，$ H^3(F, \mu_l^{\tens 3}) $ 中每个元素均为符号类，推广了已知的 $ l=2 $ 情形。
• 对于特征 $ \neq 2 $ 的有限域上光滑曲面 $ X $ 上的有理曲面族 $ Y \to X $，其有理函数域的非分歧上同调群 $ H^3_{nr}(K(C)/k, \mu_n^{\tens 2}) $ 为零。
• 对于特征 $ \neq 2 $ 的有限域上可展曲面的有理曲面族的光滑射影三流形 $ Y $，上同调类映射 $ CH^2(Y) \otimes \mathbb{Z}_l \to H^4(Y, \mathbb{Z}_l(2)) $ 是满射。
• 在正特征全球域上曲线的有理曲面族的通用纤维上，若满足适当条件，则零次循环存在性的 Brauer–Manin 障碍是唯一障碍。
• 若 $ \zeta \in H^3(K, \mu_l^{\tens 3}) $ 在局部为固定符号 $ \alpha \in H^2(K, \mu_l^{\tens 2}) $ 与 $ H^1(K, \mu_l) $ 中类的上积，则局部-整体原则蕴含 $ \zeta $ 在全局也是此类上积。
• 证明依赖于局部域上某些二次型的各向同性，以及利用弱逼近从局部数据构造全局解。