[论文解读] Delaunay Edge Flips in Dense Surface Triangulations

Siu-Wing Cheng, Tamal K. Dey|ArXiv.org|Dec 12, 2007

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文提出了一种简单的边翻转算法，可将 R³ 中密集且均匀采样的表面三角剖分转换为三维 Delaunay 三角剖分的子复形。在均匀密度条件下，该算法可保证收敛至精确的 Delaunay 三角剖分；在非均匀条件下，其结果为“近乎 Delaunay”型，其中外接球被缩小 O(ε²γ)，从而在几何建模与网格处理等实际应用中具备鲁棒性。

ABSTRACT

Delaunay flip is an elegant, simple tool to convert a triangulation of a point set to its Delaunay triangulation. The technique has been researched extensively for full dimensional triangulations of point sets. However, an important case of triangulations which are not full dimensional is surface triangulations in three dimensions. In this paper we address the question of converting a surface triangulation to a subcomplex of the Delaunay triangulation with edge flips. We show that the surface triangulations which closely approximate a smooth surface with uniform density can be transformed to a Delaunay triangulation with a simple edge flip algorithm. The condition on uniformity becomes less stringent with increasing density of the triangulation. If the condition is dropped completely, the flip algorithm still terminates although the output surface triangulation becomes "almost Delaunay" instead of exactly Delaunay.

研究动机与目标

• 确定在何种条件下，嵌入 R³ 中的表面三角剖分可通过边翻转转换为三维 Delaunay 三角剖分的子复形。
• 分析针对非满维三角剖分（特别是表面网格）的边翻转算法的收敛性与正确性。
• 建立关于顶点密度与几何均匀性的定量条件，以保证收敛至精确的 Delaunay 三角剖分。
• 在均匀性条件被放宽时，对输出结果进行表征，表明其仍为“近乎 Delaunay”型，且外接圆空置违反程度有界。
• 探讨在几何建模、等值面生成及动态网格维护等实际应用中的影响。

提出的方法

• 该算法基于 Delaunay 准则执行局部边翻转：若某三角形的外接球包含其邻接三角形的顶点，则翻转共享边至另一条对角线。
• 分析采用 ε-采样理论与底层光滑曲面的可达性（γ）来界定三角形法向量与外心之间的几何偏差。
• 引入 β-穿刺三角形的概念，即三角形的 β-球与 (−β)-球被某顶点穿透，证明此类三角形可通过翻转提升 Delaunay 质量。
• 关键几何论证界定了三角形法向量之间的角度偏差与外心间距，表明翻转后三角形的外心位于原始三角形平面附近宽为 O(ε²γ) 的板状区域内。
• 当不存在 β-穿刺三角形时，算法终止，且 β > 88ε²γ，确保输出为 (β − 88ε²γ)-Gabriel，因此为“近乎 Delaunay”型。
• 一种保守变体仅翻转与 β-穿刺三角形相关的边，生成 (β + 88ε²γ)-Gabriel 三角剖分，翻转次数更少，但 Delaunay 近似性较弱。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何与采样条件下，R³ 中的表面三角剖分可通过边翻转转换为 Delaunay 三角剖分？
• RQ2 当顶点分布缺乏均匀性时，翻转算法会发生什么情况？能否仍保证终止性与有用的几何性质？
• RQ3 是否可通过适当的顶点权重，将密集表面三角剖分通过边翻转转换为加权 Delaunay 三角剖分？
• RQ4 该翻转算法的输出是否等价于顶点集的加权 Delaunay 三角剖分（在适当权重下）？
• RQ5 当均匀性条件被放弃时，输出中外接圆空置违反的定量界限是什么？

主要发现

• 在 R³ 中，对于足够高且均匀的密度，该边翻转算法可保证终止并生成精确的 Delaunay 三角剖分。
• 当均匀性条件被放宽时，算法仍可终止，并生成 (β − 88ε²γ)-Gabriel 三角剖分，即所有外接圆在缩小 O(ε²γ) 后保持为空。
• 常数 88ε²γ 源于三角形法向量之间的角度偏差与外心间距，由 ε-采样理论与曲面可达性 γ 推导得出。
• 即使在缺乏均匀性时，输出三角剖分仍被保证为“近乎 Delaunay”型，适用于对精确 Delaunay 不是必需的应用场景。
• 该算法适用于密集网格（如细分曲面或等值面生成的网格），并已被用于维护具有理论保证的优质动态网格。
• 保守翻转策略通过仅翻转与 β-穿刺三角形相关的边，减少了翻转次数，生成 (β + 88ε²γ)-Gabriel 三角剖分，其 Delaunay 近似性虽较弱但仍有实用价值。