[论文解读] Delaunay hypersurfaces with constant nonlocal mean curvature

Xavier Cabré, Mouhamed Moustapha Fall+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用 7

一句话总结

该论文在 $\mathbb{R}^{N}$ 中（$N \geq 2$）建立了光滑的一族周期性Delaunay型超曲面的存在性，这些超曲面具有常数非局部平均曲率，且从一条直圆柱体分岔产生。通过在拟线性分数阶椭圆方程上应用Crandall-Rabinowitz分岔定理，证明了在接近直圆柱体时，存在光滑、偶对称、周期性的解，其周期趋于 $2\pi$（当扰动参数趋于零时）。

ABSTRACT

We study hypersurfaces of $\mathbb{R}^N$ with constant nonlocal (or fractional) mean curvature. This is the equation associated to critical points of the fractional perimeter functional under a volume constraint. We establish the existence of a smooth branch of periodic cylinders in $\mathbb{R}^N$, $N\geq 2$, all of them with the same constant nonlocal mean curvature, and bifurcating from a straight cylinder. These are Delaunay type cylinders in the nonlocal setting. The proof uses the Crandall-Rabinowitz theorem applied to a quasilinear type fractional elliptic equation.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^N$（$N \geq 2$）中建立具有常数非局部平均曲率的周期性超曲面的存在性，作为经典Delaunay曲面的非局部类比。
• 通过构建从直圆柱体分岔出的光滑周期性圆柱体分支，将 $\mathbb{R}^2$ 中先前的结果推广到高维空间。
• 证明这些非局部Delaunay超曲面是光滑且周期性的，且当它们趋近于直圆柱体时，周期收敛于 $2\pi$。
• 在非局部面积最小化背景下，为分数阶平均曲率方程提供严格的分岔分析。

提出的方法

• 使用分数阶平均曲率的主值积分定义，将非局部平均曲率方程表述为拟线性分数阶椭圆型PDE。
• 将超曲面定义为旋转对称的圆柱体形式 $E_u = \{(s,\zeta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{N-1} : |\zeta| < u(s)\}$，其中 $u$ 为周期性正函数。
• 将Crandall-Rabinowitz分岔定理应用于由非局部平均曲率方程导出的非线性算子，将扰动参数 $a$ 视为分岔变量。
• 通过证明非局部平均曲率算子 $H: C^{1,\beta}(\mathbb{R}) \to C^{0,\beta - \alpha}(\mathbb{R})$ 在直圆柱体邻域内是 $C^\infty$-光滑的，建立必要的正则性与紧致性。
• 利用Hölder估计与积分核分解来控制非局部平均曲率算子及其导数的正则性。
• 利用解的对称性与偶性，确保分岔分支由偶周期函数构成，其最小周期为 $2\pi / \lambda(a)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathbb{R}^N$（$N \geq 2$）中构造出光滑的一族具有常数非局部平均曲率的周期性超曲面，其类比于经典Delaunay曲面？
• RQ2 Crandall-Rabinowitz分岔定理是否适用于高维空间中的非局部平均曲率方程，以获得此类周期性解？
• RQ3 当分岔解趋近于直圆柱体时，其周期的渐近行为如何？
• RQ4 非局部平均曲率算子的正则性如何影响分岔解的光滑性？
• RQ5 非局部平均曲率方程是否可视为拟线性分数阶椭圆型PDE，从而支持分岔分析？

主要发现

• 对每个 $\alpha \in (0,1)$，存在半径 $R > 0$ 及一条 $C^\infty$-光滑的周期性圆柱体分支 $E_{u_a}$ 在 $\mathbb{R}^N$（$N \geq 2$）中，从直圆柱体 $\{ |\zeta| < R \}$ 分岔产生，且满足 $u_0 \equiv R$。
• 分岔解 $u_a$ 为偶周期函数，其最小周期为 $2\pi / \lambda(a)$，且 $\lambda(0) = 1$，因此当 $a \to 0$ 时，周期收敛于 $2\pi$。
• 该分支中所有超曲面均保持与直圆柱体相同的常数非局部平均曲率，且该曲率在分岔过程中保持不变。
• 证明了非局部平均曲率算子 $H$ 在 $C^{1,\beta}(\mathbb{R})$ 上是 $C^\infty$-光滑的，从而支持高阶分岔理论的应用。
• 证明了在直圆柱体处的线性化算子具有由 $\cos(s)$ 生成的简单核，满足Crandall-Rabinowitz定理所需的横截性条件。
• 由此得到的曲线 $a \mapsto \lambda(a)$ 与 $a \mapsto u_a$ 均为光滑的，确认了在振幅与周期参数上，分岔分支均具有 $C^\infty$-正则性。