[论文解读] Delaunay Triangulations in Linear Time? (Part I)

Kevin Buchin|ArXiv.org|Dec 1, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文提出了一种随机增量算法，用于在点集在 ℝᵈ 中具有多项式有界展布的条件下，以线性期望时间构建Delaunay三角剖分，该方法利用最近邻图和基于历史的点定位策略。在假设随机采样点集的Delaunay三角剖分的期望复杂度与采样大小成线性关系的前提下，该方法实现了线性时间复杂度。

ABSTRACT

We present a new and simple randomized algorithm for constructing the Delaunay triangulation using nearest neighbor graphs for point location. Under suitable assumptions, it runs in linear expected time for points in the plane with polynomially bounded spread, i.e., if the ratio between the largest and smallest pointwise distance is polynomially bounded. This also holds for point sets with bounded spread in higher dimensions as long as the expected complexity of the Delaunay triangulation of a sample of the points is linear in the sample size.

研究动机与目标

• 开发一种随机增量Delaunay三角剖分算法，使其在现实计算模型下达到线性期望时间复杂度。
• 通过结合历史数据结构与最近邻图计算，解决增量Delaunay构造中高效点定位的挑战。
• 在点集展布和期望三角剖分复杂度满足特定条件下，将线性时间算法的适用范围从平面推广至高维空间。
• 通过引入分层采样和基于最近邻图的定位机制，避免依赖完整的构造历史。
• 利用广义分离对分解和基数排序技术，建立运行时间的理论界。

提出的方法

• 将输入点分组为指数增长的轮次，以支持高效的分层点定位。
• 使用历史数据结构（Delaunay树）加速增量构造早期阶段的点定位。
• 对于每一轮，对点的子集构建最近邻图（NNG），并利用尚未插入的连通分量，将定位候选向上游传播至层次结构中。
• 在较高层次的点定位通过从已定位点出发沿最近邻图的边行走完成，其代价受冲突计数和单纯形复杂度的限制。
• 该方法依赖于Chan近期的结果，即广义分离对分解与排序之间的联系，从而通过基数排序实现最近邻图的线性时间构建。
• 计算模型假设为实数RAM，且对O(log N)-位整数的向下取整整函数具有受限的常数时间，以避免过度强大的假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在 ℝᵈ 中具有多项式有界展布的点集，能否以线性期望时间构建Delaunay三角剖分？
• RQ2 在不依赖完整构造历史的前提下，如何加速增量Delaunay构造中的点定位？
• RQ3 最近邻图在支持增量插入过程中高效分层点定位中起到何种作用？
• RQ4 在点集结构（如展布、采样复杂度）满足何种条件下，Delaunay三角剖分的期望复杂度能保持线性？
• RQ5 该算法在多大程度上可推广至非均匀插入顺序或替代数据结构（如Delaunay层次结构）？

主要发现

• 在假设大小为 r 的随机采样点集的Delaunay三角剖分的期望复杂度为 O(r) 的前提下，该算法以 O(N) 期望时间构建点集 P ⊂ ℝᵈ 的Delaunay三角剖分。
• 对于展布为多项式有界的平面点集，任意随机采样点集的Delaunay三角剖分的期望复杂度为线性，因此该算法以线性期望时间运行。
• 定位一轮中所有点的期望代价被限制在 O(|Rₖ|)，当对所有轮次求和时，整体期望时间复杂度为线性。
• 通过使用最近邻图和广义分离对分解，可借助基数排序实现所需图的线性时间构建。
• 该方法通过利用最近邻分量在层次结构中传播定位候选，避免了存储或查询完整构造历史的需求。
• 该分析可扩展至Delaunay层次结构和非均匀插入顺序，表明其适用范围不仅限于均匀随机插入。