[论文解读] Delay-robust control design for two heterodirectional linear coupled hyperbolic PDEs

Jean Auriol, Ulf Jakob F. Aarsnes+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 43被引用 81

一句话总结

该论文表明通过取消近端反射实现对耦合的两台异向线性双向超曲线偏微分方程（PDE）在有限时间内的稳定化可能会破坏时延鲁棒性，并提出一种保持少量反射的时延鲁棒控制设计。它还将系统重新表述为分布时延中性方程以分析鲁棒性。

ABSTRACT

We detail in this article the necessity of a change of paradigm for the delay-robust control of systems composed of two linear first order hyperbolic equations. One must go back to the classical trade-off between convergence rate and delay-robustness. More precisely, we prove that, for systems with strong reflections, canceling the reflection at the actuated boundary will yield zero delay-robustness. Indeed, for such systems, using a backstepping-controller, the corresponding target system should preserve a small amount of this reflection to ensure robustness to a small delay in the loop. This implies, in some cases, giving up finite time convergence.

研究动机与目标

• 在两台异向线性耦合的双向超曲线偏微分方程（PDE）之间平衡收敛速率与时延鲁棒性的必要性。
• 证明取消近端反射可以在小时延下消除时延裕度。
• 开发一种基于 backstepping 的时延鲁棒控制设计，在保持少量近端反射的同时提高鲁棒性。
• 将两PDE系统改写为具有分布时滞的中性系统以分析鲁棒性。

提出的方法

• 分析边界耦合输运PDE的开环传输函数以推导时延鲁棒性条件。
• 使用 backstepping 将原系统映射到具有分布时滞中性形式的靶系统。
• 推导反射增益（近端和远端）对时延鲁棒可稳定化性的条件。
• 提出调整后的控制律，通过保留部分近端反射以在收敛速度与时延鲁棒性之间权衡。
• 在小时延下建立调整后靶系统的指数稳定性，并给出一个具构造性的控制器。
• 通过一个两运输方程的入门示例来说明该方法，并推广到一般的耦合双曲PDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个基于 backstepping 的控制器能否对两台异向线性双向超曲线PDE在小时延下实现鲁棒稳定吗？
• RQ2 近端和远端反射增益在时延鲁棒稳定中扮演怎样的角色？
• RQ3 如何设计靶系统以在有限时间收敛与时延鲁棒性之间进行权衡？
• RQ4 是否可以将两PDE系统改写为分布时延的中性系统以便分析时延？

主要发现

• 通过完全取消近端反射实现的有限时间稳定化在某些系统中会导致零时延鲁棒性。
• 若开环增益 |ρq| ≥ 1，则系统无法实现时延鲁棒稳定。
• 对于 |ρq| < 1，可以通过修改控制律以保留少量近端反射来实现时延鲁棒稳定。
• 基于 backstepping 的改写将两PDE系统映射到分布时延中性系统，从而实现对时延的分析。
• 带有可调参数 K 的改良控制律在 |ρq| < 1 时可以实现时延鲁棒的指数稳定，允许在收敛速率与时延鲁棒性之间取舍。
• 该框架从简单的两运输示例扩展到一般的两耦合双曲PDE情况。