[论文解读] Delayed instabilities in viscoelastic solids through a metric description

Erez Y. Urbach, Efi Efrati|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2017

Sports Dynamics and Biomechanics被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于度量的粘弹性理论框架，通过随时间演化的参考长度来建模粘弹性固体，从而实现对延迟失稳现象的定量预测。通过将材料的应力松弛视为动态参考度量，该理论能够预测看似稳定的粘弹性结构（如橡胶壳体）为何会突然发生屈曲，且与弹跳器和屈曲行为的实验数据高度吻合。

ABSTRACT

While determining the stability of an unconstrained elastic structure is a straightforward task, this is not the case for viscoelastic structures. Seemingly elastically stable conformations of viscoelastic structures may gradually creep until stability is lost, and conversely, creeping does not necessarily imply that a structure will eventually become unstable. Understanding instabilities in viscoelastic structures requires a more intuitive description of viscoelasticity to allow analytical results and quantitative predictions. In this work we put forward a metric description of viscoelasticity in which the continua is characterized by temporally evolving reference lengths with respect to which elastic strains are measured. Formulating the three dimensional theory using metric tensors we are able to predict which structures will exhibit delayed instability due to viscoelastic flow. We also quantitatively describe the viscoelastic relaxation in free standing structures including cases where the relaxation leads to no apparent motion. We demonstrate these results and the power of the metric approach by elucidating the subtle mechanism of delayed instability in elastomer shells showing quantitative agreement with experimental measurements.

研究动机与目标

• 为预测粘弹性固体中常见的延迟失稳现象提供直观且可解析的工具，这些现象常被标准本构模型所忽略。
• 开发一种具有物理解释性的框架，捕捉内部应力的缓慢耗散演化过程，而无需依赖记忆核或复杂模拟。
• 解释为何某些粘弹性结构在持续内部应力松弛下仍保持静止，这一现象违背经典弹性理论。
• 定量预测在载荷作用下薄粘弹性壳体在稳定、不稳定和亚稳态行为之间的转变。
• 通过弹性体弹跳器的实验验证理论，展示预测的屈曲时间与观测到的稳定性阶段之间精确一致。

提出的方法

• 引入一种粘弹性度量描述，其中弹性响应相对于随时间演化的参考度量 $\bar{g}_{ij}(t)$ 进行测量，该度量代表材料的内部松弛状态。
• 将瞬时参考长度 $\bar{g}_{ij}$ 定义为一个随时间演化、趋向于当前构型 $g_{ij}$ 的动态变量，其弛豫时间常数由材料参数 $\beta$ 决定。
• 采用改进的本构定律表示应力张量：$S^{ij}(t) = C^{ijkl} \left( \varepsilon_{kl}(t) + \beta \int_{-\infty}^{t} \dot{\phi}(t-s) \varepsilon_{kl}(s) ds \right)$，其中 $\varepsilon_{kl} = \frac{1}{2}(g_{kl} - \bar{g}_{kl})$。
• 将粘弹性响应建模为参考度量 $\bar{g}_{ij}$ 向当前构型 $g_{ij}$ 的连续蠕变，系统趋近于一个静止状态 $\bar{g}^{\text{stat}} = \beta g + (1 - \beta)\bar{g}^0$。
• 将该理论应用于自由悬挂的薄壳结构（如圆锥形弹跳器），基于随时间演化的 $\bar{g}_{ij}$ 计算能量景观与稳定性，从而实现对延迟屈曲的预测。
• 利用应力松弛的实验测量校准 $\beta = 0.0928 \pm 0.0077$，并将预测的稳定性阶段与50个不同弹跳器中观测到的屈曲时间进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何某些粘弹性结构在持续内部应力松弛下仍保持静止，即使其看似不稳定？
• RQ2 在恒定形变下，什么决定了粘弹性壳体在稳定、不稳定和亚稳态行为之间的转变？
• RQ3 如何利用一种物理解释性强的框架，对弹跳器等结构中的延迟失稳（如屈曲）进行定量预测？
• RQ4 随时间演化的参考度量 $\bar{g}_{ij}$ 在多大程度上能完整捕捉粘弹性响应，包括零载荷下的应力松弛与蠕变？
• RQ5 该度量方法能否预测在薄壳结构中，稳定与不稳定区域边界附近屈曲时间的发散行为？

主要发现

• 该理论预测，当粘弹性系统被迅速引入一个局部稳定状态时，即使内部应力持续演化，系统仍可能无限期保持静止，这是由于其参考度量 $\bar{g}_{ij}$ 持续调整而不引起净形变。
• 通过应力松弛实验测得材料参数 $\beta = 0.0928 \pm 0.0077$，从而实现了对圆锥形弹跳器中稳定性阶段的定量预测。
• 该模型能基于几何参数 $r_{\text{min}}/h$ 和 $r_{\text{max}}/r_{\text{min}}$ 精确预测弹性体弹跳器中三种不同的稳定性阶段——稳定、不稳定与亚稳态。
• 对50个不同弹跳器的实验数据表明，理论预测的相边界与实际观测结果高度一致，验证了该度量框架的预测能力。
• 该理论解释了弹跳器和捕蝇草在屈曲前的缓慢蠕动行为，其根源在于 $\bar{g}_{ij}$ 向当前构型的缓慢演化。
• 该模型揭示，延迟失稳源于当前形状与材料演化后的无应力状态之间的“矛盾”，而参考度量 $\bar{g}_{ij}$ 作为粘弹性历史的状态变量起关键作用。