[论文解读] Delayed Recursive State and Input Reconstruction

Roshan A. Chavan, Harish J. Palanthandalam‐Madapusi|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Fault Detection and Control Systems参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文提出了一种延迟递归滤波器，用于在线性动态系统中联合估计状态和未知输入，利用当前测量值来估计过去的状态和输入，存在时间延迟。核心贡献在于建立了滤波器收敛的必要与充分条件，该条件与系统多变量零点相关联，推广了现有的无偏最小方差滤波器，并放宽了对 $CH$ 的满列秩限制。该方法适用于方阵与非方阵系统，当系统零点稳定且为非最小相位时，可确保渐近收敛。

ABSTRACT

The unknown inputs in a dynamical system may represent unknown external drivers, input uncertainty, state uncertainty, or instrument faults and thus unknown-input reconstruction has several wide-spread applications. In this paper we consider delayed recursive reconstruction of states and unknown inputs for both square and non-square systems. That is, we develop filters that use current measurements to estimate past states and reconstruct past inputs. We further derive necessary and sufficient conditions for convergence of filter estimates and show that these convergence properties are related to multivariable zeros of the system. With the help of illustrative examples we highlight the key contributions of this paper in relation with the existing literature. Finally, we also show that existing unbiased minimum-variance filters are special cases of the proposed filters and as a consequence the convergence results in this paper also apply to existing unbiased minimum-variance filters.

研究动机与目标

• 解决现有滤波器要求 $CH$ 具有满列秩以实现未知输入与状态估计的局限性。
• 通过当前输出测量值实现对过去状态与输入的递归估计，引入重建延迟 $r$。
• 建立滤波器收敛的必要与充分条件，将收敛性与多变量系统零点的位置关联起来。
• 证明当 $r=0$ 时，现有无偏最小方差滤波器是所提框架的特例。
• 为非方阵系统中 $CH$ 可能不满秩的情况，提供延迟输入与状态重建的理论基础。

提出的方法

• 构建一个递归滤波器，利用截至时间 $k$ 的测量值，估计延迟时间 $k-r$ 的状态 $\hat{x}_{k-r|k}$ 和输入 $\hat{e}_{k-r-1|k}$。
• 通过最小方差准则推导滤波增益 $L_k$，并通过条件 $L_k C H = H$ 确保无偏性。
• 使用系统动态 $x_{k+1} = A x_k + H e_k$ 进行预测步骤，将状态估计从 $k-r-1$ 推进至 $k$。
• 构造输入重建为 $\hat{e}_{k-r-1} = (CH)^{-1}(y_k - C \hat{x}_{k|k-1})$，当 $CH$ 可逆时成立。
• 引入延迟 $r$，使得即使 $CH$ 不具满列秩，也能对过去状态与输入进行估计，从而扩大系统的适用范围。
• 将滤波器应用于方阵与非方阵系统，收敛条件基于系统的不变零点推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可基于当前输出测量值递归重建过去状态与未知输入？
• RQ2 重建延迟 $r$ 如何影响滤波器的收敛性与稳定性？
• RQ3 滤波器收敛性与系统多变量零点之间存在何种关系？
• RQ4 现有无偏最小方差滤波器能否作为所提延迟滤波框架的特例被恢复？
• RQ5 在 $CH$ 不具满列秩的非方阵系统中，无偏性与收敛性的必要与充分条件是什么？

主要发现

• 当系统多变量零点稳定且为非最小相位时，滤波器可提供对过去状态与输入的无偏估计，确保收敛。
• 对于方阵系统，收敛的充分条件等价于不存在非最小相位零点，从而将滤波器性能直接与系统结构特性关联。
• 当系统具有稳定不变零点时，滤波器可实现渐近收敛；若存在不稳定或非最小相位零点，则收敛失败。
• 所提滤波器推广了现有无偏最小方差滤波器，当 $r=0$ 且 $CH$ 可逆时，后者即为该框架的特例。
• 重建延迟 $r$ 并非用户选择，而是由系统的结构特性决定，其上界基于系统零点推导得出。
• 数值示例表明，在传统方法因 $CH$ 不满秩而失效的非方阵系统中，该方法成功实现了输入重建。