[论文解读] Deligne Cohomology for Orbifolds, discrete torsion and B-fields

Ernesto Lupercio, Bernardo Uribe|ArXiv.org|Jan 23, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文通过光滑étale群胚引入轨道丛的Deligne上同调，表明第三类Deligne上同调群 $ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $ 对应于轨道丛上的带联络的2-丛。该研究建立了从这些2-丛到其惯性群胚上的平坦线丛的holonomy映射，实现了Ruan的内局部系统，并将II型超弦理论中的$ B $-场与离散扭量统一为Deligne上同调类。

ABSTRACT

In this paper we introduce the concept of Deligne cohomology of an orbifold. We prove that the third Deligne cohomology group of a smooth étale groupoid classify gerbes with connection over the groupoid. We argue that the $B$-field and the discrete torsion in type II superstring theories are special kinds of gerbes with connection, and finally, for each one of them, using Deligne cohomology we construct a flat line bundle over the inertia groupoid, namely a Ruan inner local in the case of an orbifold.

研究动机与目标

• 通过光滑étale群胚$ \textsf{G} $定义轨道丛的Deligne上同调，扩展框架以包含带联络的2-丛。
• 将II型超弦理论中的$ B $-场与离散扭量统一为第三类Deligne上同调群$ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $中的类。
• 从轨道丛上的带联络2-丛构造到其惯性群胚上平坦线丛的holonomy映射。
• 通过该holonomy映射的像实现Ruan的内局部系统，从而在Deligne上同调的几何与拓扑意义下提供解释。
• 将holonomy构造推广至所有Deligne上同调群，暗示其在轨道丛上Gromov-Witten不变量中的相关性。

提出的方法

• 通过光滑étale群胚$ \textsf{G} $定义轨道丛的Deligne上同调，使用复形$ π(3)_D^∞ $来建模带联络的2-丛。
• 利用Čech上同调与微分形式，证明$ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $分类了$ \textsf{G} $上的带联络2-丛。
• 构造一个holonomy同态$ \text{holo}: H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) \to H^2(\text{inertia}(\textsf{G}), π(2)_D^∞) $，将2-丛映射到带联络的线丛。
• 通过证明在扭动扇形上曲率形式为零，证明所诱导的线丛在惯性群胚上是平坦的。
• 利用Čech复形之间的典范同态$ \breve{C}(\textsf{G}, π^\times(p)_{γ}) \to \breve{C}(\text{inertia}(\textsf{G}), π^\times(p-1)_{γ}) $，将holonomy推广至更高阶的Deligne上同调群。
• 利用同构$ (2\pi i)^{-p+1} \cdot \mathbb{H}^{q+1}(\textsf{G}, \mathbb{Z}(p)^\infty_D) \cong \mathbb{H}^{q}(\text{inertia}(...), \mathbb{Z}(p-1)^\infty_D) $，建立跨维度的上同调群关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Deligne上同调推广至轨道丛？其在分类带联络2-丛中的作用是什么？
• RQ2 II型超弦理论中的$ B $-场与离散扭量如何对应于Deligne上同调中的元素？
• RQ3 从带联络2-丛到惯性群胚上线丛的holonomy映射的几何意义是什么？
• RQ4 所诱导线丛的平坦性如何从holonomy构造中产生？
• RQ5 holonomy构造能否推广至所有Deligne上同调群及更高阶扭动扇形？

主要发现

• 第三类Deligne上同调群$ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $分类了由光滑étale群胚$ \textsf{G} $所建模的轨道丛上的带联络2-丛。
• II型弦理论中的$ B $-场与离散扭量被实现为$ H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) $中的类，其到$ H^3(B\textsf{G}, \mathbb{Z}) $的遗忘映射可恢复标准上同调类$[H]$。
• 存在一个自然的holonomy映射$ \text{holo}: H^3(\textsf{G}, π(3)_D^∞) \to H^2(\text{inertia}(\textsf{G}), π(2)_D^∞) $，将每个带联络2-丛映射为惯性群胚上的线丛（带联络）。
• 惯性群胚上的线丛是平坦的，因为其曲率形式在扭动扇形上为零，这是由于对$ a ∈ \wedge\textsf{G}_0 $有$ dA(a) = 0 $。
• holonomy映射可推广至所有Deligne上同调群，得到一个态射$ \mathbb{H}^q(\textsf{G}, \mathbb{C}^\times(p)_{\textsf{G}}) \to \mathbb{H}^{q-1}(\wedge\textsf{G}, \mathbb{C}^\times(p-1)_{\wedge\textsf{G}}) $，该态射诱导出涉及$ (2\pi i)^{-p+1} \cdot \mathbb{H}^{q+1}(\textsf{G}, \mathbb{Z}(p)^\infty_D) $的同构。
• 在惯性群胚上诱导出的平坦线丛正是Ruan的内局部系统，从而在Deligne上同调的微分几何实现中，为这些对象提供了几何与拓扑解释。