[论文解读] Deligne's category Rep(GL_\delta) and representations of general linear supergroups

Jonathan Comes, Benjamin Wilson|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 15

一句话总结

本文通过 Deligne 的范畴 Rep(GLδ) 对一般线性超群 GL(m|n) 的自然表示的混合张量幂的不可约分项进行同构分类。给出了以复合超对称 Schur 多项式表示的特征标公式，并通过提升同构与墙 Brauer 代数的分解数，建立了一种分解这些分项张量积的方法。主要贡献是基于 (m|n)-交叉双分拆，对表示建立了完整的分类与零化判别准则。

ABSTRACT

We classify indecomposable summands of mixed tensor powers of the natural representation for the general linear supergroup up to isomorphism. We also give a formula for the characters of these summands in terms of composite supersymmetric Schur polynomials, and give a method for decomposing their tensor products. Along the way, we describe indecomposable objects in Rep(GL_\delta) and explain how to decompose their tensor products.

研究动机与目标

• 对一般线性超群 GL(m|n) 的混合张量幂 T(r,s) = V^⊗r ⊗ (V*)^⊗s 的不可约分项进行同构分类。
• 推导这些分项在复合超对称 Schur 多项式下的特征标公式。
• 开发一种分解这些不可约分项张量积的方法。
• 在双分拆性质的框架下，建立 Rep(gl(m|n)) 中表示的精确零化判别准则。

提出的方法

• 利用 Deligne 的张量范畴 Rep(GLδ) 作为研究 GLd 和 GL(m|n) 混合张量幂的统一框架。
• 采用受 Comes 和 Ostrik 启发的提升同构技术，关联通用情况与奇异情况下的格罗滕迪克环。
• 应用墙 Brauer 代数 Br,s(δ) 的可胞结构与分解数，通过双分拆对不可约对象进行分类。
• 利用 Brundan 和 Stroppel 的 cap 图递归计算分解数，支持提升构造。
• 利用 Koike 定理对有理 GLd 表示张量积分解的结论，推导 Rep(GLδ) 中的通用张量积规则。
• 应用函子 Fm|n: Rep(GLm−n) → Rep(gl(m|n)) 将 Deligne 范畴中的对象提升至超群设定，实现在 Rep(gl(m|n)) 中的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 GL(m|n) 的混合张量幂 T(r,s) 的不可约分项的完整同构分类是什么？
• RQ2 这些不可约分项的特征标如何用对称多项式表示？
• RQ3 这些不可约分项在 Rep(gl(m|n)) 中的张量积结构是怎样的？
• RQ4 在什么条件下，Rep(gl(m|n)) 中的表示 W(λ) 为零？
• RQ5 从 Rep(GLδ) 到 Rep(gl(m|n)) 的提升同构如何促进张量积的分解？

主要发现

• 在 Rep(GL(m|n)) 中，T(r,s) 的不可约分项通过 (m|n)-交叉双分拆 λ 同构分类，且 Fm|n(L(λ)) 为对应的不可约分对象。
• 每个不可约分项 W(λ) 的特征标由双分拆 λ 对应的复合超对称 Schur 多项式给出。
• 在 Rep(GLδ) 中，对于通用 δ，不可约分对象的张量积分解为 L(λ) ⊗ L(µ) ≅ ⨁ν L(ν)⊕Γνλ,µ，其中系数 Γνλ,µ 为 Littlewood-Richardson 系数。
• 在 Rep(gl(m|n)) 中，表示 W(λ) 非零当且仅当双分拆 λ 为 (m|n)-交叉，此结论由定理 8.7.6 建立。
• 当 δ = m−n 时，函子 Fm|n 将 Rep(GLδ) 中的不可约分对象 L(λ) 映射为 Rep(gl(m|n)) 中的不可约分表示 W(λ)，当且仅当 λ 为 (m|n)-交叉。
• 该零化判别准则同时推广了经典 GLd 情况（l(λ) ≤ d）与 GL(m|n) 钩状情况，统一于 (m|n)-交叉条件之下。