[论文解读] Delocalization of eigenvectors of random matrices. Lecture notes

Mark Rudelson|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用 9

一句话总结

该论文针对具有有界密度的独立同分布条目之随机矩阵，建立了特征向量的无间隙局域化，证明了任意非可忽略的坐标子集均携带非可忽略的 $<1$ 质量。通过傅里叶分析与小球概率界，推导出 $<1/4$-范数局域化，并将其应用于埃拉多什-雷尼随机图，表明在具有正或负特征向量值的大顶点集合中，边的添加不会破坏谱间隙的鲁棒性。

ABSTRACT

Let $x \in S^{n-1}$ be a unit eigenvector of an $n imes n$ random matrix. This vector is delocalized if it is distributed roughly uniformly over the real or complex sphere. This intuitive notion can be quantified in various ways. In these lectures, we will concentrate on the no-gaps delocalization. This type of delocalization means that with high probability, any non-negligible subset of the support of $x$ carries a non-negligible mass. Proving the no-gaps delocalization requires establishing small ball probability bounds for the projections of random vector. Using Fourier transform, we will prove such bounds in a simpler case of a random vector having independent coordinates of a bounded density. This will allow us to derive the no-gaps delocalization for matrices with random entries having a bounded density. In the last section, we will discuss the applications of delocalization to the spectral properties of Erdős-Rényi random graphs.

研究动机与目标

• 建立具有有界密度独立同分布条目的随机矩阵特征向量的无间隙局域化，确保质量分布中无大面积空隙。
• 利用傅里叶分析，为具有有界密度的独立坐标之随机向量投影发展小球概率界。
• 将这些界推广，推导实与复随机矩阵的 $<1/4$-范数局域化。
• 将局域化结果应用于埃拉多什-雷尼随机图的谱性质，特别是谱间隙在边添加下的鲁棒性。
• 证明归一化拉普拉斯矩阵的谱间隙对具有一致特征向量符号的大顶点子集中的边添加具有鲁棒性。

提出的方法

• 使用傅里叶变换，推导具有独立坐标且有界密度的随机向量投影的小球概率界。
• 应用这些界证明无间隙局域化，表明任意非可忽略的坐标子集均携带非可忽略的质量。
• 利用测度集中性与 $<1/4$-范数界，控制特征向量的 $<\infty$-范数。
• 通过特征向量局域化分析埃拉多什-雷尼随机图的归一化拉普拉斯矩阵，评估谱间隙的稳定性。
• 利用特征向量的结构及其 $<\infty$-范数，界定正负符号集合中非边的数量，从而关联至谱间隙的鲁棒性。
• 应用定理 7，参数为 $s$ 和 $<\varepsilon$，证明大顶点集合中特征向量值较小的情况出现的概率极低。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有界密度假设下，利用傅里叶分析推导出随机向量投影的小球概率界？
• RQ2 具有独立同分布条目且有界密度的随机矩阵特征向量是否满足无间隙局域化？
• RQ3 此类矩阵中特征向量的 $<\infty$-范数的定量界是什么？
• RQ4 特征向量局域化如何影响埃拉多什-雷尼随机图的谱间隙？
• RQ5 谱间隙对具有一致特征向量符号的大顶点子集中边添加的鲁棒性在多大程度上成立？

主要发现

• 对于具有独立同分布条目且有界密度的随机矩阵，特征向量的 $<\infty$-范数以高概率被控制在 $C n^{-1/4} \log^C n$ 以内。
• 无间隙局域化成立：任意非可忽略的坐标子集均携带非可忽略的质量，其量化基于小球概率界。
• 对于埃拉多什-雷尼随机图，第二特征向量正负符号集合中非边的比例以高概率至少为 $1/2 - O(n^{-c})$。
• 归一化拉普拉斯矩阵的谱间隙具有鲁棒性：在大正或负符号集合中添加任意非边，均会使谱间隙减小。
• 大顶点集合中特征向量值较小的概率至多为 $\exp(-\varepsilon n)$，远小于 $\exp(-c \log^2 n)$。
• 该结果意味着，对于 $G \sim G(n,p)$，以高概率有 $a_-(G) \geq \frac{1}{2} - O(n^{-c})$，从而确认了谱间隙鲁棒性猜想的强形式。