[论文解读] Delocalized equivariant coholomogy of symmetric products

Jian Zhou|ArXiv.org|Oct 5, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 11

一句话总结

本文利用与物理相关的分次，计算了闭复流形对称积的非局部等变上同调的庞加莱多项式与霍奇多项式。它恢复了椭圆亏格的 Dijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlinde 公式的一个特例，并在上同调群的直和上构造了一个海森堡超代数作用，扩展了等变 K-理论中的先前工作。

ABSTRACT

For any closed complex manifold $X$, we calculate the Poincaré and Hodge polynomials of the delocalized equivariant cohomology $H^*(X^n, S_n)$ with a grading specified by physicists. As a consequence, we recover a special case of a formula for the elliptic genera of symmetric products in Dijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlinde \cite{Dij-Moo-Ver-Ver}. For a projective surface X, our results matches with the corresponding formulas for the Hilbert scheme of X^[n]. We also give geometric construction of an action of a Heisenberg superalgebra on $\sum_{n \geq 0} H^{*,*}(X^n, S_n)$, imitating the constructions for equivariant K-theory by Segal \cite{Seg} and Wang \cite{Wan}. There is a corresponding version for $H^{-*, *}$.

研究动机与目标

• 计算闭复流形 $X$ 的对称积的非局部等变上同调 $H^*(X^n, S_n)$ 的庞加莱多项式与霍奇多项式。
• 恢复对称积的椭圆亏格的 Dijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlinde 公式的特例。
• 在 $\sum_{n \geq 0} H^{*,*}(X^n, S_n)$ 上构造一个几何的海森堡超代数作用，类似于塞加尔与王在等变 K-理论中的构造。
• 建立当 $X$ 为射影曲面时，上同调公式与希尔伯特概形之间的匹配。

提出的方法

• 利用 $S_n$-等变上同调与非局部类，通过扭上同调引入群作用数据。
• 采用受物理理论（特别是共形场论）启发的分次方案，组织上同调结构。
• 运用等变上同调与霍奇理论的技术，计算庞加莱多项式与霍奇多项式。
• 利用对称积结构，在上同调群的直和上构造几何的海森堡超代数作用。
• 借助曲面希尔伯特概形的已知结果，比较并验证上同调公式。
• 将框架扩展至包含对偶版本 $H^{-*,*}$，保持与主构造的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为闭复流形计算对称积的非局部等变上同调的庞加莱多项式与霍奇多项式？
• RQ2 所计算的上同调是否恢复了对称积椭圆亏格的已知公式，特别是 Dijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlinde 公式？
• RQ3 能否在对称积的等变上同调群的直和上构造一个几何的海森堡超代数作用，类似于等变 K-理论中的构造？
• RQ4 当 $X$ 为射影曲面时，对称积的上同调不变量与希尔伯特概形的上同调不变量如何比较？
• RQ5 所指定的分次在组织上同调并将其与物理理论联系起来方面起什么作用？

主要发现

• 对任意闭复流形 $X$，明确计算了 $H^*(X^n, S_n)$ 的庞加莱多项式与霍奇多项式，其分次与物理惯例一致。
• 结果恢复了 Dijkgraaf、Moore、Verlinde 与 Verlinde 推导出的对称积椭圆亏格公式的特例。
• 当 $X$ 为射影曲面时，上同调公式与希尔伯特概形 $X^{[n]}$ 的公式一致，证实了与已知代数几何不变量的一致性。
• 在 $\sum_{n \geq 0} H^{*,*}(X^n, S_n)$ 上构造了一个几何的海森堡超代数作用，推广了塞加尔与王在等变 K-理论中的构造。
• 定义了上同调的对应版本 $H^{-*,*}$，并证明其可赋予对偶的海森堡超代数作用。
• 该构造提供了对称积上同调背后 Fock 空间结构的上同调实现，将拓扑与表示理论联系起来。