[论文解读] Delooping of high-dimensional spaces of string links

Julien Ducoulombier|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Algorithms and Data Compression参考文献 13被引用 4

一句话总结

该论文利用多变量流形微积分和操作族上双模的导出映射空间，对高维绳结空间模浸入的显式重循环进行了构造。在对所有 $i$ 满足 $d_i + 3 \ne n$ 的条件下，证明了同伦纤维 $L(d_1,\dots, d_k; n)$ 同伦等价于一个 $d$-重迭代环路空间，将已知的 $k=1$ 情况推广至更高 $k$ 的情形。

ABSTRACT

We study a connection between a multivariable version of the Goodwillie-Weiss' calculus of functors and derived mapping spaces of k-fold bimodules over a family of operads. As our main application, under the assumption $d_{i}+3\leq n$ for all $i\in \{1,\ldots,k\}$, we produce explicit deloopings of high-dimensional spaces of string links modulo immersions from $\sqcup_{i}\mathbb{R}^{d_{i}}$ to $\mathbb{R}^{n}$ and their polynomial approximations.

研究动机与目标

• 将已知的长结模浸入的重循环结果（$k=1$）推广至高维中 $k > 1$ 的绳结情形。
• 理解空间 $\mathcal{L}(d_1,\ldots,d_k;n)$ 的同伦类型，即嵌入空间模浸入的同伦纤维。
• 为 $k$-重无穷小双模和操作族上的双模，发展多变量 Goodwillie-Weiss 流形微积分框架。
• 利用双模范畴中模型范畴的导出映射空间，构造显式重循环。
• 通过图复形与一致操作族，将 $\mathcal{L}(d;n)$ 的有理同伦描述推广至多 strand 情形。

提出的方法

• 利用多变量流形微积分分析 $\coprod \mathbb{R}^{d_i}$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的嵌入空间。
• 应用 $k$-重无穷小双模与 $k$-重操作族上双模的理论，对嵌入与浸入空间进行建模。
• 为 $k$-重双模构造 Boardman-Vogt 分解，以在模型范畴结构中解析导出映射空间。
• 利用 $k$-重双模上的 Reedy 与射影模型范畴结构，定义导出映射空间。
• 依赖一致操作族的概念，将嵌入空间的同伦类型与迭代环路空间联系起来。
• 将该框架应用于小立方体操作族 $\mathcal{C}_d$，并通过已知等价性将结果与图复形同调联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在适当的余维数条件下，$\mathcal{L}(d;n)$ 的重循环结果（$k=1$ 时成立）能否推广至 $k > 1$ 的绳结情形？
• RQ2 空间 $\mathcal{L}(d_1,\ldots,d_k;n)$，即模浸入的嵌入空间的同伦纤维，其同伦类型为何？
• RQ3 多变量流形微积分应如何调整以处理操作族家族上的 $k$-重双模？
• RQ4 Boardman-Vogt 分解在实现 $k$-重双模的导出映射空间中起什么作用？
• RQ5 在弱于 $2d_i+2\leq n$ 的余维数假设下，$\mathcal{L}(d_1,\ldots,d_k;n)$ 的有理同伦类型能否通过图复形描述？

主要发现

• 在对所有 $i$ 满足 $d_i + 3 \leq n$ 的条件下，空间 $\mathcal{L}(d_1,\ldots,d_k;n)$ 同伦等价于一个 $d$-重迭代环路空间，其中 $d = \min\{d_1,\ldots,d_k\}$。
• 同伦纤维 $\mathcal{L}(d_1,\ldots,d_k;n)$ 被证明弱同伦等价于 $\Omega^d \operatorname{Map}^{\text{h}}_{\text{Bimod}}(\mathcal{C}_d, \mathcal{C}_n)$，推广了 $k=1$ 的情形。
• 导出映射空间 $\operatorname{Map}^{\text{h}}_{\text{Bimod}}(\mathcal{C}_d, \mathcal{C}_n)$ 被实现为小立方体操作族 $\mathcal{C}_d$ 上的 $k$-重双模。
• 本文在 $\Lambda^{\times k}$ 设置下，利用 Boardman-Vogt 构造，显式构造了 $k$-重无穷小双模 $\mathbb{O}$ 的分解。
• $k$-重双模上的模型范畴结构使得导出映射空间可计算，从而支持重循环构造的实现。
• 该结果通过提供 $k > 1$ 的系统性框架，拓展了 $k=1$ 时的已有工作，且余维数条件 $d_i + 3 \leq n$ 对该方法而言是最优的。