[论文解读] Delta-Complete Decision Procedures for Satisfiability over the Reals

Sicun Gao, Jeremy Avigad+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2012

Formal Methods in Verification参考文献 8被引用 43

一句话总结

本文提出了针对实数上的SMT的$δ$-完备决策过程，使基于数值的求解器能够在有界数值扰动下提供正确性保证。它证明了非线性理论的可判定性与复杂度界限（例如，含指数函数的$δ$-SMT为NP完全，含常微分方程的$δ$-SMT为PSPACE完全），并确立$δ$-完备性作为使用区间方法的求解器的实际正确性标准。

ABSTRACT

We introduce the notion of "δ-complete decision procedures" for solving SMT problems over the real numbers, with the aim of handling a wide range of nonlinear functions including transcendental functions and solutions of Lipschitz-continuous ODEs. Given an SMT problem φand a positive rational number δ, a δ-complete decision procedure determines either that φis unsatisfiable, or that the "δ-weakening" of φis satisfiable. Here, the δ-weakening of φis a variant of φthat allows δ-bounded numerical perturbations on φ. We prove the existence of δ-complete decision procedures for bounded SMT over reals with functions mentioned above. For functions in Type 2 complexity class C, under mild assumptions, the bounded δ-SMT problem is in NP^C. δ-Complete decision procedures can exploit scalable numerical methods for handling nonlinearity, and we propose to use this notion as an ideal requirement for numerically-driven decision procedures. As a concrete example, we formally analyze the DPLL framework, which integrates Interval Constraint Propagation (ICP) in DPLL(T), and establish necessary and sufficient conditions for its δ-completeness. We discuss practical applications of δ-complete decision procedures for correctness-critical applications including formal verification and theorem proving.

研究动机与目标

• 为解决含正弦函数和常微分方程等非线性函数的实数SMT的不可判定性问题，这些函数使得精确决策过程无法实现。
• 为原本易受浮点数误差影响的基于数值的求解器提供形式化的正确性框架。
• 以$δ$-完备性替代传统完备性，作为非线性SMT求解的实际正确性标准。
• 使用区间约束传播形式化分析DPLL⟨ICP⟩框架的$δ$-完备性。
• 使该方法能够实际应用于安全关键型应用，如有界模型检测与不变性验证。

提出的方法

• 将公式的$δ$-弱化定义为允许在数值项上存在$δ$-有界扰动的松弛形式，从而实现鲁棒的可满足性检查。
• 证明对于包含指数函数、三角函数以及Lipschitz连续常微分方程的理论，有界$δ$-SMT是可判定的，前提是函数为Type 2可计算函数。
• 建立复杂度界限：含指数函数和三角函数的理论为NP完全，含常微分方程的理论为PSPACE完全。
• 利用可计算分析与Type 2复杂度理论的技术，形式化求解的可计算性。
• 将区间约束传播（ICP）集成到DPLL(T)框架中，定义DPLL⟨ICP⟩过程实现$δ$-完备性的条件。
• 提供ICP-based求解器实现$δ$-完备性的充分必要条件，依赖于区间传播过程中定义良好的剪枝算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为基于数值的SMT求解器定义一种正确性准则，使其在考虑有界数值误差的同时仍保持正确性？
• RQ2 对于扩展实数算术并包含正弦、指数函数和常微分方程等非线性函数的理论，有界$δ$-SMT问题是否可判定？
• RQ3 不同类别的非线性函数下，有界$δ$-SMT的计算复杂度是多少？
• RQ4 在何种条件下，DPLL⟨ICP⟩框架对实数上的非线性SMT公式实现$δ$-完备性？
• RQ5 $δ$-完备求解器如何应用于实际验证任务，如有界模型检测与不变性验证？

主要发现

• 对于包含指数函数和三角函数的理论，有界$δ$-SMT问题是可判定的，在适度假设下为NP完全。
• 对于涉及Lipschitz连续常微分方程解的理论，有界$δ$-SMT问题是PSPACE完全。
• 当且仅当ICP中的剪枝算子定义良好时，DPLL⟨ICP⟩框架是$δ$-完备的。
• $δ$-完备求解器可用于有界模型检测：若结果为'unsat'，则可保证系统安全；若结果为'$δ$-sat'，则表明存在实际不安全行为，或在$δ$-扰动下存在不安全行为。
• 在不变性验证中，若对不变性条件的否定结果为'$δ$-sat'，则表明不变性不成立，或在小数值扰动下失效。
• $δ$-完备性框架支持渐进式细化：若返回'$δ$-sat'，则减小$δ$可获得确定性答案，这与常见的交互式定理证明实践一致。