[论文解读] Demazure modules, Fusion products and Q--systems

Vyjayanthi Chari, Rahul Venkatesh|arXiv (Cornell University)|May 11, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文引入了一类与简单李代数的当前代数相关的不可约有限维分次模族，其索引为满足相容性条件的分拆元组。当分拆为矩形时，证明了这些模同构于Demazure模，简化了其定义关系，并通过Q系统建立了融合积的典范短正合列，且在sl₂情形下给出了显式的单项基底。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a family of indecomposable finite--dimensional graded modules for the current algebra associated to a simple Lie algebra. These modules are indexed by a tuple of partitions one for each positive root of the simple Lie algebra. We assume that the partitions satisfy a natural compatibility condition. In the case when the partitions are all rectangular, for instance, we prove that these are precisely the Demazure modules which are stable under the action of the simple Lie algebra. As a consequence we see that the defining relations of these Demazure modules can be greatly simplified. We use this simplified presentation to relate our results to the fusion products (defined by Feigin and Loktev) of representations of the current algebra. We prove that the Q--system can be actually thought of as a canonical short exact of the fusion products of representations associated to certain special partitions. Finally, in the last section we deal with the case of sl(2) and prove that the modules we define are just fusion products of irreducible representations of the associated current algebra. We also give monomial bases for these modules.

研究动机与目标

• 为与简单李代数相关联的当前代数定义一类新的不可约有限维分次模族。
• 确立这些模同构于Demazure模的条件，特别是当索引分拆为矩形时。
• 将这些模的简化表示与先前工作中定义的表示融合积联系起来。
• 将Q系统扩展为特殊分拆的融合积的典范短正合列。
• 在sl₂情形下为这些模提供单项基底，表明其为不可约表示的融合积。

提出的方法

• 构造由|R⁺|-元分拆族(ξ^α)索引的模，满足自然相容性条件。
• 利用当前代数结构g⊗C[t]及其来自C[t]的自然分次来定义分次模。
• 证明当所有ξ^α为矩形时，这些模在正级别表示中同构于Demazure模。
• 通过这种新表示简化Demazure模的定义关系。
• 通过典范短正合列将模与融合积联系起来，扩展[22]中的Q系统。
• 在sl₂情形下，通过x⁻⊗t^k生成元在最高权向量上的作用构造单项基底，以整数元组进行显式索引。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，新定义的分次模同构于Demazure模？
• RQ2 如何利用这一新模族简化Demazure模的定义关系？
• RQ3 这些模与当前代数表示的融合积之间有何关系？
• RQ4 Q系统能否扩展为特殊分拆的融合积的典范短正合列？
• RQ5 在sl₂情形下，这些模存在何种单项基底？

主要发现

• 当所有ξ^α为矩形分拆时，作者所定义的模同构于Demazure模。
• 在这一新表示下，Demazure模的定义关系得到显著简化。
• 建立了融合积的典范短正合列，将[22]中的Q系统扩展到更广范围的分拆类。
• 在sl₂情形下，模被证明是当前代数不可约表示的融合积。
• 通过x⁻⊗t^k生成元的作用构造了sl₂情形下的单项基底，其索引为I(ξ)中的整数元组。
• 单项基底的证明依赖于使用单射映射φ⁻和φ⁺的归纳论证，其中φ⁻的像是对应于满足i_ℓ = ξ_ℓ的元组。