[论文解读] Denosing Using Wavelets and Projections onto the L1-Ball

Ahmet Enis Çetin, Mohammad Tofighi|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2014

Image and Signal Denoising Methods参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于小波的去噪方法，通过将含噪小波系数投影到ℓ₁球上，利用ℓ₁范数上境集的正交投影，实现无需先验噪声方差知识的自动阈值估计。该方法通过利用稀疏性与线性代数，借助高效的O(K log K)算法确定最优软阈值，从而在测试信号上实现18.2–19.1 dB的平均信噪比增益，显著提升去噪性能。

ABSTRACT

Both wavelet denoising and denosing methods using the concept of sparsity are based on soft-thresholding. In sparsity based denoising methods, it is assumed that the original signal is sparse in some transform domains such as the wavelet domain and the wavelet subsignals of the noisy signal are projected onto L1-balls to reduce noise. In this lecture note, it is shown that the size of the L1-ball or equivalently the soft threshold value can be determined using linear algebra. The key step is an orthogonal projection onto the epigraph set of the L1-norm cost function.

研究动机与目标

• 解决在未知噪声方差条件下小波去噪中阈值选择的挑战。
• 开发一种利用线性代数与ℓ₁范数上境集确定最优ℓ₁球大小或软阈值的算法。
• 通过高效投影算法在小波域中利用信号稀疏性，提升去噪性能。
• 通过将阈值选择建模为正交投影问题，消除对噪声方差估计的需求。

提出的方法

• 该方法将小波去噪建模为约束优化问题：最小化含噪系数与去噪系数之间ℓ₂范数的差异，同时要求去噪系数的ℓ₁范数被一个大小参数$d_i$所限制。
• 引入$\mathbb{R}^{K+1}$中的ℓ₁范数上境集，其中$K$为小波子信号的长度，以表示约束$\sum_n |w[n]| \leq z$，$z$为ℓ₁球的大小。
• 通过O(K log K)算法计算最优投影，该算法对绝对小波系数进行排序，并基于累积和与排序后的幅值计算阈值$\theta_i$。
• 软阈值操作$w_{pi}[n] = \text{sign}(w_i[n]) \cdot \max(|w_i[n]| - \theta_i, 0)$由此投影推导得出，其中$\theta_i$由球大小$d_i$及解中非零系数的数量决定。
• 该方法通过直接从数据估计ℓ₁球大小，避免了显式噪声方差估计，利用小波子信号可能的最大ℓ₁范数$d_{\text{max},i} = \sum_n \text{sign}(w_i[n]) w_i[n]$进行估计。
• 该方法应用于高通小波子带，而低通子带保持不变，去噪信号通过小波逆变换重建。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小波去噪中，如何在缺乏噪声方差先验知识的情况下估计ℓ₁球大小或软阈值？
• RQ2 ℓ₁范数的上境集能否用于推导出数值稳定且高效的基于小波的去噪方法的阈值选择？
• RQ3 ℓ₁球大小与小波系数收缩中所得软阈值之间存在何种关系？
• RQ4 当噪声方差未知时，该方法与标准通用阈值法相比，在信噪比性能上表现如何？
• RQ5 能否使用基于排序的算法以O(K log K)复杂度高效计算ℓ₁球上的投影？

主要发现

• 所提方法在六个测试信号上实现了18.2–19.1 dB的平均信噪比增益，显著优于在未知噪声方差条件下的标准小波去噪方法。
• 对于“尖点”信号，使用金字塔方法时，该方法实现了28.1 dB的平均输出信噪比，而小波方法仅为24.8 dB。
• 该方法通过直接从数据利用上境集公式推导阈值，消除了对噪声方差估计的需求。
• O(K log K)算法高效计算ℓ₁投影，使该方法在实时信号去噪应用中具备实际可实施性。
• 该方法在多种信号类型（包括分段光滑信号与尖点信号）下均表现稳健，信噪比提升一致。
• 阈值$\theta_i$由球大小$d_i$及小波系数的排序幅值决定，确保实现最优的稀疏性促进收缩。