[论文解读] Denotational semantics of general store and polymorphism

Jonathan Sterling, Daniel Gratzer+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2022

Semantic Web and Ontologies被引用 4

一句话总结

本文首次为扩展了通用引用类型和递归类型的多态依赖类型理论构建了形式语义，采用守卫递归和综合守卫域理论来建模在语法上无法定义的语义克里普克世界。主要贡献是构建了一个与参数化推理和证明相关的逻辑关系兼容的关系模型，从而实现对命令式抽象数据类型的综合验证。

ABSTRACT

We contribute the first denotational semantics of polymorphic dependent type theory extended by an equational theory for general (higher-order) reference types and recursive types, based on a combination of guarded recursion and impredicative polymorphism; because our model is based on recursively defined semantic worlds, it is compatible with polymorphism and relational reasoning about stateful abstract datatypes. We then extend our language with modal constructs for proof-relevant relational reasoning based on the "logical relations as types" principle, in which equivalences between imperative abstract datatypes can be established synthetically. What is new in relation to prior typed denotational models of higher-order store is that our Kripke worlds need not be syntactically definable, and are thus compatible with relational reasoning in the heap. Our work combines recent advances in the operational semantics of state with the purely denotational viewpoint of synthetic guarded domain theory.

研究动机与目标

• 为带有通用引用类型和递归类型的多态依赖类型理论提供形式语义。
• 解决长期存在的挑战：在支持关系推理的前提下，将参数化多态与高阶状态相结合。
• 建模在语法上无法定义的克里普克世界，以支持基于堆的关系推理。
• 通过“逻辑关系即类型”原理，为模型扩展模态构造，以实现证明相关的关联推理。
• 为依赖类型理论中的带状态高阶分离逻辑奠定基础。

提出的方法

• 使用综合守卫域理论（SGDT）与后续模态□对递归定义进行分层，并在形式语义框架中建模时间。
• 将语义世界定义为偏序集W，其中每个世界为堆内存位置分配语义类型，从而支持对状态的语义级推理。
• 将语义类型建模为从W到预域的函子，通过域方程支持递归类型定义。
• 引入克里普克逻辑关系模型，其中世界无需在语法上可定义，从而支持对不同堆状态的关系推理。
• 采用“逻辑关系即类型”原理，将命令式抽象数据类型之间的证明相关等价性内化。
• 将守卫递归与不相容多态性结合，统一支持多态性和状态的形式语义模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在形式语义中一致地结合参数化多态与通用引用类型？
• RQ2 能否以语义方式而非语法方式定义克里普克世界，以支持对堆分配状态的关系推理？
• RQ3 如何在高阶状态的类型理论模型中内化证明相关的关联推理？
• RQ4 守卫递归在解决涉及语义类型和堆位置的域方程中的作用是什么？
• RQ5 带有引用的依赖类型理论的形式语义模型能否通过高阶分离逻辑支持模块化推理？

主要发现

• 本文通过综合守卫域理论，构建了一个完全形式化的多态依赖类型理论模型，支持通用引用类型和递归类型。
• 该模型通过将克里普克世界视为语义实体而非语法实体，支持对状态化抽象数据类型的关联推理。
• 语义世界通过涉及从世界到预域的函子的域方程来定义，解决了语义类型系统中类型连接词的先前问题。
• 该模型通过“逻辑关系即类型”原理，实现了综合的证明相关关联推理，使命令式数据结构之间的等价性可被内部建立。
• 该框架可扩展至高阶分离逻辑，如后续构造的基于该模型的Iris风格BI-超理论所示。
• 该方法避免了先前模型在使用语义世界时对递归类型失效的局限性，如Birkedal等人（2010）提供的反例所示。