[论文解读] Dense entire curves in Rationally Connected manifolds

Frédéric Campana, J. Winkelmann|arXiv (Cornell University)|May 3, 2019

Meromorphic and Entire Functions参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文利用梳子光滑技术，在有理连通复射影流形中建立了零阶度量稠密全纯曲线的存在性，证实了关于特殊流形的一个猜想。进一步表明此类曲线可避开对数终端有理曲面的奇点，且无法提升至非平凡的分歧覆盖，支持了弱希尔伯特性质的 Nevanlinna 理论类比。

ABSTRACT

We show the existence of metrically dense entire curves in rationally connected complex projective manifolds confirming for this case a conjecture according to which such entire curves on projective manifolds exist if and only if these are "special". We also show that such a dense entire curve may be chosen in such a way that it does not lift to any of its ramified covers, answering in this case a question of Corvaja and Zannier about the Nevanlinna analog of the `weak Hilbert property' of arithmetic geometry. We consider briefly the other test case of the conjecture, namely manifolds with $c_1=0$. Furthermore we discuss entire curves in normal rational surfaces avoiding the singular locus.

研究动机与目标

• 证明在有理连通复射影流形中存在度量稠密的全纯曲线，证实关于特殊流形的猜想。
• 证明此类曲线可构造为零阶增长，将函数论插值推广至非有理化情形。
• 证明稠密全 holomorphic 曲线无法提升至分歧覆盖，支持弱希尔伯特性质的 Nevanlinna 理论类比。
• 将结果推广至对数终端正规有理曲面及纤维化为阿贝尔或椭圆曲面的 Calabi-Yau 三流形。
• 研究增长阶与特征函数在特殊流形上全纯曲线的 Nevanlinna 理论中的作用。

提出的方法

• 利用 Kollár-Miyaoka-Mori 的梳子光滑技术，将全纯曲线构造为有理曲线的极限。
• 通过递归逼近具有可控特征函数的有理曲线，以确保零阶增长。
• 定义一个连续函数 $ g(r) $，满足 $ \lim_{r\to\infty} \frac{\log g(r)}{\log r} = 0 $，以控制特征函数 $ T_f(r) $。
• 构造一列有理曲线 $ f_n $，使得对所有 $ r \geq 2 $，有 $ T_{f_n}(r) \leq \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)g(r) $，误差界递减。
• 取极限 $ f = \lim f_n $，确保 $ T_f(r) \leq g(r) $，从而推出 $ \rho_f = 0 $。
• 应用极小模型程序与对数终端对理论，在正规曲面上构造避开奇点的曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 有理连通流形是否允许存在度量稠密且阶为零的全纯曲线？
• RQ2 有理连通流形中的全纯曲线能否被构造为无法提升至非平凡分歧覆盖，从而支持弱希尔伯特性质的 Nevanlinna 理论类比？
• RQ3 具有商奇点的正规射影曲面在何种条件下允许存在避开奇点的稠密全纯曲线？
• RQ4 全纯曲线的增长阶 $ \rho_f $ 与其所在流形的几何结构有何关系？
• RQ5 特征函数 $ T_f(r) $ 在控制全纯曲线的阶与稠密性方面起什么作用？

主要发现

• 本文在任意有理连通复射影流形 $ X $ 中构造了全纯曲线 $ f: \mathbb{C} \to X $，其阶 $ \rho_f = 0 $，证实了关于特殊流形的猜想。
• 此类曲线可经过任意给定的可数子集 $ M \subset X $，并横截地与任意固定超曲面 $ D $ 相交。
• 所构造的曲线无法提升至任何非平凡的分歧覆盖 $ Y \to X $，证实了有理连通流形的 Nevanlinna 理论类比弱希尔伯特性质。
• 对于具有商奇点的正规射影曲面 $ X $，若存在一个 $ \mathbb{Q} $-除子 $ \Delta $，使得 $ K_X + \Delta $ 为 $ \mathbb{Q} $-平凡，且 $ (X, \Delta) $ 为对数终端，则存在避开奇点的稠密全纯曲线。
• 构造确保 $ T_f(r) \leq g(r) $，其中函数 $ g $ 满足 $ \lim_{r\to\infty} \frac{\log g(r)}{\log r} = 0 $，从而推出 $ \rho_f = 0 $。
• 该结果通过 Grassi 与 Oguiso 的结果，可推广至纤维化为阿贝尔曲面或椭圆曲线的 Calabi-Yau 三流形。