[论文解读] Dense induced bipartite subgraphs in triangle-free graphs

Matthew Kwan, Shoham Letzter+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文证明了每个最小度为 $d$ 的 $H$-自由图都包含一个诱导二分图，其最小度至少为 $c_H \log d / \log \log d$，几乎证实了 Esperet、Kang 和 Thomassé 提出的猜想。该结果在对数因子范围内是紧的，并可推广至稠密的三角形自由图，在此类图中该界可改进为 $\Theta(\log d)$，从而解决了极值图论中一个长期存在的问题。

ABSTRACT

The problem of finding dense induced bipartite subgraphs in $H$-free graphs has a long history, and was posed 30 years ago by Erdős, Faudree, Pach and Spencer. In this paper, we obtain several results in this direction. First we prove that any $K_t$-free graph with minimum degree at least $d$ contains an induced bipartite subgraph of minimum degree at least $c_t \log d/\log \log d$, confirming (asymptotically) several conjectures by Esperet, Kang and Thomassé. Complementing this result, we further obtain optimal bounds for this problem in the case of dense triangle-free graphs, and we also answer a question of Erdős, Janson, Łuczak and Spencer.

研究动机与目标

• 解决 Erd",

提出的方法

• 使用概率和极值组合技巧证明三角形自由图情形下的主要结果。
• 通过基于图膨胀和诱导子图性质的约化论证，将一般 $H$-自由情形约化为三角形自由情形。
• 利用随机图构造证明 $\log d / \log \log d$ 界在对数因子范围内是最优的。
• 分析函数 $g(n,d)$，即 $n$ 个顶点、最小度为 $d$ 的三角形自由图中诱导二分图的最大最小度，识别出在 $d = \sqrt{n}$ 处的相变行为。
• 通过特定三角形自由图的膨胀构造极端图，以建立 $g(n,d)$ 的上界。
• 利用分数染色与色数之间的联系，探索替代证明策略，并推测界值的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最小度为 $d$ 的 $H$-自由图中，诱导二分图的最大最小度是多少？
• RQ2 能否将 $H$-自由图中诱导二分图的界 $\Omega(\log d / \log \log d)$ 改进为 $\Omega(\log d)$？
• RQ3 在三角形自由图中，诱导二分图的最大最小度如何随 $n$ 和 $d$ 变化？
• RQ4 在 $d$-退化三角形自由图中，分数色数是否被 $O(d / \log d)$ 所有界，这对诱导二分图有何含义？
• RQ5 在三角形自由图中，诱导二分图最小度的精确阈值行为是什么，特别是在 $d = \sqrt{n}$ 附近？

主要发现

• 对每个固定的图 $H$，每个最小度为 $d$ 的 $H$-自由图都包含一个诱导二分图，其最小度至少为 $c_H \log d / \log \log d$，其中 $c_H \geq \varepsilon^{|H|}$ 对某个 $\varepsilon > 0$ 成立。
• 界 $\Omega(\log d / \log \log d)$ 几乎是最优的，因为随机图构造表明一般情况下不可能达到 $\Omega\left(\log d\right)$ 的界。
• 对于满足 $d \leq \sqrt{n}$ 的三角形自由图，诱导二分图的最大最小度为 $\Theta(\log d)$，证实了该界是紧的。
• 对于满足 $\sqrt{n} < d \leq n/2$ 的三角形自由图，诱导二分图的最大最小度为 $\Theta(d^2 \log d / n)$，表明密度显著下降。
• 当 $d \geq n^{2/3}$ 时，诱导二分图的最大最小度为 $O(d^2 / n)$，且该界在对数因子范围内是紧的。
• 在稠密区域（$d \geq n^{2/3}$）中，$g(n,d)$ 的上界通过特定三角形自由图的膨胀构造实现，证明了结果的紧致性。