[论文解读] Dense locally finite subgroups of Automorphism Groups of Ultraextensive Spaces

Mahmood Etedadialiabadi, Su Gao+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 32被引用 8

一句话总结

本论文通过证明Hall的通用可数局部有限群在所有已知的无限超扩展空间（包括Urysohn空间、有理Urysohn空间、随机图和通用$K_n$-自由图）的等距群与自同构群中具有稠密嵌入，从而证实了Vershik的猜想。作者利用有限度量空间与带有限群作用的关系结构的Fraïssé极限，构造了典范的稠密嵌入，并通过其距离值集表征了$∞$-度量空间的等距群。

ABSTRACT

We verify a conjecture of Vershik by showing that Hall's universal countable locally finite group can be embedded as a dense subgroup in the isometry group of the Urysohn space and in the automorphism group of the random graph. In fact, we show the same for all automorphism groups of known infinite ultraextensive spaces. These include, in addition, the isometry group of the rational Urysohn space, the isometry group of the ultrametric Urysohn spaces, and the automorphism group of the universal $K_n$-free graph for all $n\\geq 3$. Furthermore, we show that finite group actions on finite metric spaces or finite relational structures form a Fra\\"iss\\'{e} class, where Hall's group appears as the acting group of the Fra\\"iss\\'{e} limit. We also embed continuum many non-isomorphic countable universal locally finite groups into the isometry groups of various Urysohn spaces, and show that all dense countable subgroups of these groups are mixed identity free (MIF). Finally, we give a characterization of the isomorphism type of the isometry group of the Urysohn $\\Delta$-metric spaces in terms of the distance value set $\\Delta$.

研究动机与目标

• 验证Vershik的猜想，即Hall的通用可数局部有限群在Urysohn空间的等距群与随机图的自同构群中稠密嵌入。
• 将此结果推广至所有已知的无限超扩展空间，包括通用$∞$-度量空间、超度量Urysohn空间以及通用$K_n$-自由图。
• 证明有限度量空间或关系结构上的有限群作用构成一个Fraïssé类，且Hall的群作为此类结构的Fraïssé极限而出现。
• 构造不可数无穷多个非同构的可数通用局部有限群（全源群），并将其稠密嵌入Urysohn $∞$-度量空间的等距群中。
• 通过其距离值集$∞$，表征Urysohn $∞$-度量空间等距群的同构类型。

提出的方法

• 使用Fraïssé类理论，通过等距作用的有限群作用于有限$∞$-度量空间，构造其Fraïssé极限。
• 应用Rosendal对RZ性质（Ribes–Zalesskii性质）在有限度量空间中扩展的刻画。
• 适应HL性质（Herwig–Lascar）及其在有限指数扩张下的封闭性，以处理具有禁止子结构的关系结构。
• 通过Fraïssé极限，构造Hall群$∞$到超扩展空间的等距群与自同构群的典范稠密嵌入。
• 定义并使用全源群作为Hall群的推广，以构造不可数无穷多个非同构的稠密局部有限子群。
• 利用稳定化子的拓扑简单性与共轭类性质，表征不同Urysohn $∞$-度量空间等距群之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hall的通用可数局部有限群是否在Urysohn空间的等距群与随机图的自同构群中稠密嵌入？
• RQ2 有限$∞$-度量空间与有限群作用的Fraïssé极限是否能产生Hall群作为通用$∞$-度量空间等距群中的稠密子群？
• RQ3 是否存在不可数无穷多个非同构的可数局部有限群，其在Urysohn $∞$-度量空间的等距群中稠密嵌入？
• RQ4 Urysohn $∞$-度量空间等距群的同构类型是否能完全由其距离值集$∞$表征？
• RQ5 对于非等价的距离值集$∞$与$∜$，是否存在一个等距群中的稠密可数局部有限子群，无法作为稠密子群嵌入到另一个等距群中？

主要发现

• Hall的通用可数局部有限群$∞$在Urysohn空间$∞$的等距群中稠密嵌入。
• 同一群$∞$在有理Urysohn空间$∞$的等距群中也稠密嵌入。
• 对于任意距离值集$∞$，通用$∞$-度量空间$∞$的等距群均包含Hall群$∞$的一个稠密副本。
• 超度量Urysohn空间的等距群也包含Hall群$∞$的一个稠密副本。
• 随机图$∞$与$K_n$-自由图（$n\geq3$）的自同构群各自包含Hall群$∞$的一个稠密副本。
• 存在不可数无穷多个非同构的可数全源群，每个均稠密嵌入于某个Urysohn $∞$-度量空间的等距群中。