[论文解读] Dense sets of integers with prescribed representation functions

Javier Cilleruelo, Melvyn B. Nathanson|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2007

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文证明，任何满足 $ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ 的整值函数 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbf{N} $，均可作为某个子集 $ \mathcal{A} \subset \mathbb{Z} $ 的 $ h $-重表示函数 $ r_{\mathcal{A},h}(n) $ 被实现，其中 $ \mathcal{A} $ 通过在 $ B_h[g] $ 序列上添加一个稀疏辅助序列而构造。关键结果是，此类 $ \mathcal{A} $ 的密度可达到 $ \mathcal{A}(x) \gg \mathcal{B}(x\epsilon(x)) $，其中 $ \mathcal{B} $ 是 $ B_h[g] $ 序列且 $ \epsilon(x) \to 0 $，从而得到 $ \mathcal{A}(x) \gg x^{1/h - \varepsilon} $ 对任意 $ \varepsilon > 0 $ 成立，这与目前已知的 $ B_h[g] $ 序列的最佳密度下界一致。

ABSTRACT

Let A be a set of integers and let h \geq 2. For every integer n, let r_{A, h}(n) denote the number of representations of n in the form n=a_1+...+a_h, where a_1,...,a_h belong to the set A, and a_1\leq ... \leq a_h. The function r_{A,h} from the integers Z to the nonnegative integers N_0 U {\infty} is called the representation function of order h for the set A. We prove that every function f from Z to N_0 U {\infty} satisfying liminf_{|n|->\infty} f (n)\geq g is the representation function of order h for some sequence A of integers, and that A can be constructed so that it increases "almost" as slowly as any given B_h[g] sequence. In particular, for every epsilon >0 and g \geq g(h,epsilon), we can construct a sequence A satisfying r_{A,h}=f and A(x)\gg x^{(1/h)-epsilon}.

研究动机与目标

• 确定整数集 $ \mathcal{A} $ 的最大可能密度，使得其 $ h $-重表示函数 $ r_{\mathcal{A},h}(n) $ 与满足 $ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ 的给定函数 $ f(n) $ 完全匹配。
• 建立表示函数问题与稠密 $ B_h[g] $ 序列构造之间的联系，而这类序列的高密度构造本身已被证明极具挑战性。
• 表明任何此类函数 $ f $ 均可通过一个集合 $ \mathcal{A} $ 实现，其计数函数 $ \mathcal{A}(x) $ 的增长速度可达到 $ \mathcal{B}(x\epsilon(x)) $，其中 $ \mathcal{B} $ 是 $ B_h[g] $ 序列且 $ \epsilon(x) \to 0 $。
• 在 Nathanson 的早期结果 $ \mathcal{A}(x) \gg x^{1/(2h-1)} $ 的基础上实现改进，达到 $ \mathcal{A}(x) \gg x^{1/h - \varepsilon} $ 对任意 $ \varepsilon > 0 $ 成立，与目前已知的 $ B_h[g] $ 序列的最优下界一致。

提出的方法

• 构造从一个给定的 $ B_h[g] $ 序列 $ \mathcal{B} $ 开始，以确保初始表示计数被限制在 $ g $ 以内。
• 通过逐步添加一个稀疏辅助序列 $ \mathcal{U} = \{u_k\} $ 到 $ \mathcal{B} $，选择元素使得其在特定目标值 $ z_k $ 处增加表示计数，其中 $ f(z_k) > r_{\mathcal{A}_{k-1},h}(z_k) $。
• 使用零插入变换 $ T_\gamma^r $ 构建序列 $ \mathcal{U} $，该变换将 $ \mathcal{B} $ 的元素映射为具有受控密度和稀疏性的新集合。
• 通过基于和项数 $ h-s-t $ 的递归论证，确保新引入的 $ u_{2k-1}, u_{2k} $ 不干扰已有表示，从而维持表示函数的正确性。
• 通过选择变换参数 $ \gamma $ 使得 $ 2^{-2r\gamma^{-1}(\log_2 x)} \geq \epsilon(x) $，保证最终集合 $ \mathcal{A} $ 的密度下界为 $ \mathcal{B}(x\epsilon(x)) $，其中 $ \epsilon(x) \to 0 $。
• 证明通过关于阶段 $ k $ 的归纳法进行，表明在每一步均有 $ r_{\mathcal{A}_k,h}(n) \leq f(n) $ 对所有 $ n $ 成立，且在需要时 $ r_{\mathcal{A}_k,h}(z_k) $ 会增加至 $ f(z_k) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个满足 $ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ 的函数 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbf{N} $ 均可作为某个整数集 $ \mathcal{A} $ 的 $ h $-重表示函数？
• RQ2 对于给定的 $ f $，此类集合 $ \mathcal{A} $ 的最大可能密度（以计数函数 $ \mathcal{A}(x) $ 衡量）是多少？
• RQ3 集合 $ \mathcal{A} $ 的密度与用作基底的 $ B_h[g] $ 序列的密度之间有何关系？
• RQ4 该构造能否实现接近理论下界 $ x^{1/h - \varepsilon} $ 的密度，与已知的 $ B_h[g] $ 序列的界限一致？

主要发现

• 任何满足 $ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ 的函数 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbf{N} $ 均可作为某个整数集 $ \mathcal{A} $ 的 $ h $-重表示函数 $ r_{\mathcal{A},h}(n) $ 实现。
• 该集合 $ \mathcal{A} $ 可被构造为使其计数函数满足 $ \mathcal{A}(x) \gg \mathcal{B}(x\epsilon(x)) $，其中 $ \mathcal{B} $ 是 $ B_h[g] $ 序列且 $ \epsilon(x) \to 0 $ 当 $ x \to \infty $。
• 对任意 $ \varepsilon > 0 $，存在 $ g = g(h, \varepsilon) $，使得对任意满足 $ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ 的 $ f $，均有 $ \mathcal{A}(x) \gg x^{1/h - \varepsilon} $。
• 该构造达到了目前已知的 $ B_h[g] $ 序列的最优下界，即 $ \mathcal{B}(x) \gg x^{1/h - \varepsilon} $，如 Vu（2000）所证明。
• 当 $ h = 2 $ 时，该结果恢复并改进了 Nathanson 的界限，达到 $ \mathcal{A}(x) \gg x^{\sqrt{2}-1+o(1)} $，与 Ruzsa 对 Sidon 集的构造一致。
• 该方法提供了一套通用框架，用于以近似最优密度实现任意表示函数，解决了文献 [1] 和 [10] 中提出的开放问题。