[论文解读] Dense subsets of boundaries of CAT(0) groups

Tetsuya Hosaka|ArXiv.org|Oct 24, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文建立了CAT(0)群作用边界极小的条件，即每个轨道在边界上均稠密。证明了若CAT(0)群$G$在CAT(0)空间$X$上几何作用，且存在元素$g_0$满足其中心化子有限、其固定点集的补集非连通，且各连通分支凸且不被$g_0$不变，则轨道$G\alpha$与无限阶群元素在边界上的不动点集在$\partial X$中均稠密。该结果适用于中心化子有限的反射的Coxeter系统。

ABSTRACT

In this paper, we study dense subsets of boundaries of CAT(0) groups. Suppose that a group $G$ acts geometrically on a CAT(0) space $X$ and suppose that there exists an element $g_0\in G$ such that (1) $Z_{g_0}$ is finite, (2) $X\setminus F_{g_0}$ is not connnected, and (3) each component of $X\setminus F_{g_0}$ is convex and not $g_0$-invariant, where $Z_{g_0}$ is the centralizer of $g_0$ and $F_{g_0}$ is the fixed-point set of $g_0$ in $X$ (that is, $Z_{g_0}=\{h\in G| g_0h=hg_0\}$ and $F_{g_0}=\{x\in X| g_0x=x\}$). Then we show that each orbit $G α$ is dense in the boundary $\partial X$ (i.e.\ $\partial X$ is minimal) and the set $\{g^{\infty} | g\in G, o(g)=\infty\}$ is also dense in the boundary $\partial X$. We obtain an application for dense subsets on the boundary of a Coxeter system.

研究动机与目标

• 确定CAT(0)群作用边界极小的充分条件，即每个轨道在边界上稠密。
• 研究无限阶群元素的不动点集在CAT(0)空间边界上稠密的条件。
• 基于群中单个元素$g_0$的群论与几何性质，提出边界极小性的判别准则。
• 通过分析中心化子有限的反射，将主定理应用于Coxeter系统，特别是Davis复形。

提出的方法

• 基于群元素$g_0$的存在性，其中心化子$Z_{g_0}$有限，且其不动点集$F_{g_0}$在$X$中补集非连通。
• 利用$X\setminus F_{g_0}$的几何结构，假设每个连通分支凸且不被$g_0$不变，构造具有受控位移的群元素序列。
• 将子集$A\subset G$的极限集$L(A)$作为关键工具，通过定理2.1将其与边界上的不动点集$\mathcal{F}_g$关联。
• 采用稠密性准则：若对大位移$d(x_0, gx_0) > M$，存在$\alpha$属于集合$A$使得$d(gx_0, \operatorname{Im}\xi_\alpha) \leq N$，则$A$在$\partial X$中稠密。
• 分析$g_0$及其共轭作用的动力学性质，利用$X\setminus F_{g_0}$各连通分支的凸性与分离性，证明任一边界点的轨道均稠密。
• 构造收敛于$h^\infty$的测地射线（$h$为无限阶元素），证明其像与群平移的像相交于邻域，从而保证集合$\{g^\infty \mid o(g)=\infty\}$的稠密性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种群论与几何条件下，CAT(0)群作用的边界是极小的？
• RQ2 无限阶群元素的不动点集在CAT(0)空间边界上何时稠密？
• RQ3 能否通过群中单个元素$g_0$的性质保证边界的极小性？
• RQ4 Coxeter系统中若存在反射$r$且其中心化子有限，是否意味着Davis复形边界的极小性？

主要发现

• 若群$G$在CAT(0)空间$X$上几何作用，且存在$g_0\in G$满足其中心化子有限、$X\setminus F_{g_0}$非连通，且各连通分支凸且不被$g_0$不变，则$\partial X$是极小的。
• 在相同条件下，集合$\{g^\infty \mid g\in G, o(g)=\infty\}$在$\partial X$中稠密。
• 对Coxeter系统$(W,S)$，若存在$s\in S$使得其在$W$中的中心化子有限，则$\partial\Sigma(W,S)$是极小的，且无限阶元素的不动点集在边界中稠密。
• 该结果适用于Davis复形中的反射：若反射$r$的中心化子有限，则$\partial\Sigma(W,S)$是极小的。
• 证明显示，对任意$\beta\in\partial X$及任意$R>0$，$\epsilon>0$，存在$\alpha\in A$使得$d(\xi_\beta(R), \operatorname{Im}\xi_\alpha) < \epsilon$，从而证明$A$的稠密性。
• 构造利用了$gF_{g_0} \cap gg_0gF_{g_0} = \emptyset$对大位移$d(x_0, gx_0)$成立，从而导出无穷多个不同连通分支，故$gg_0$具有无限阶。