[论文解读] Denseness of adapted processes among causal couplings

Mathias Beiglböck, Daniel Lacker|arXiv (Cornell University)|May 8, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用 8

一句话总结

本文在离散时间与连续时间下，建立了适应过程近似一般随机过程因果耦合的条件。关键结果表明，在非原子性与因果性条件下，任意过程 $X$ 与 $Y$ 的联合分布均可通过 $Y$-适应过程 $X^k$ 在分布上近似，无论是否保持 $X$ 的边缘分布，从而在随机控制与因果最优传输中实现约束放松。

ABSTRACT

It is well known that any pair of random variables $(X,Y)$ with values in Polish spaces, provided that $Y$ is nonatomic, can be approximated in joint law by random variables of the form $(X',Y)$ where $X'$ is $Y$-measurable and $X' \stackrel{d}{=} X$. This article surveys and extends some recent dynamic analogues of this result. For example, if $X$ and $Y$ are stochastic processes in discrete or continuous time, then, under a nonatomic assumption as well as a necessary and sufficient causality (or compatibility) condition, one can approximate $(X,Y)$ in law in path space by processes of the form $(X',Y)$, where $X'$ is adapted to the filtration generated by $Y$. In addition, in finite discrete time, we can take $X'$ to have the same law as $X$. A similar approximation is valid for randomized stopping times, without the first marginal fixed. Natural applications include relaxations of (mean field) stochastic control and causal optimal transport problems as well as new characterizations of the immersion property for progressively enlarged filtrations.

研究动机与目标

• 将经典的 Monge-Kantorovich 耦合结果推广至随机过程的动态、非预测性设定。
• 刻画过程 $X$ 与过程 $Y$ 因果相容的条件，即 $X$ 在给定当前 $Y$ 信息时，条件独立于 $Y$ 的未来信息。
• 建立适应过程在因果耦合空间中的稠密性，无论是否固定 $X$ 的边缘分布。
• 为放松随机控制与因果最优传输问题中的适应性约束提供理论基础。
• 探讨因果耦合集合的凸性与极点结构，特别是在连续时间情形下的性质。

提出的方法

• 以 $X$-过滤在给定当前 $Y$ 信息下对 $Y$ 未来信息的条件独立性作为关键因果性条件。
• 应用路径空间上的弱收敛：$(X^k, Y) \Rightarrow (X, Y)$ 在 $\mathcal{Y}^N \times \mathcal{X}^N$（离散）或 $D \times C$（连续）路径空间中。
• 采用可测选择与正则条件概率技术，构造近似用的 $Y$-适应过程 $X^k$。
• 依赖于每个时间 $t$ 处 $Y_t$ 的分布为非原子性，以确保近似中可测选择的存在性。
• 应用弱收敛理论与 SDE 理论（如 Jacod-Mémin）的结果，以确保由 $Z$ 驱动的 SDE 解的收敛性。
• 通过定理 8.1 实现控制约束的放松，表明在 ${\mathbb{F}}^Y$-适应控制上的优化，等价于在更大兼容过滤上的优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定 $Y$ 的条件下，何种条件下可使随机过程 $X$ 在分布上被 $Y$-适应过程近似？
• RQ2 此类近似中是否可保持 $X$ 的边缘分布？在何种条件下可实现？
• RQ3 $X$ 与 $Y$ 的相容性与适应耦合在因果耦合空间中的稠密性之间有何关系？
• RQ4 SDE 强解的失效如何影响因果耦合集合中极点结构的性质？
• RQ5 在不损失最优性的情况下，能否将适应控制的优化放宽至更大的兼容过滤？

主要发现

• 在离散时间下，若满足相容性条件且 $Y_1$ 为非原子性，则与 $X$ 同分布的 $Y$-适应过程集合，在 $(X,Y)$ 的联合分布下是稠密的。
• 在连续时间下，若满足类似相容性条件且对所有 $t>0$，$Y_t$ 为非原子性，则 $Y$-适应过程集合在 $(X,Y)$ 的联合分布下是稠密的，但通常无法保持 $X$ 的边缘分布。
• 所有 $Y$-适应耦合的闭包等于所有因果耦合的集合，无论是否固定 $X$ 的边缘分布。
• 构造了一个反例，表明在连续时间下，即使满足相容性条件，对某些 $X$ 和 $Y$，也可能不存在 $Y$-适应耦合。
• 定理 8.1 表明，在 ${\mathbb{F}}^Y$-适应控制上的优化，等价于在更大兼容过滤上的优化，从而实现控制约束的放松。
• 因果耦合集合是凸的，但在连续时间下，适应耦合的集合不一定是极点集合，这与离散时间或随机停止时间情形不同。