[论文解读] Densities of rational points and number fields

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文通过从一个可迁群 $G \leq S_n$ 构造商簇 $X = (\mathbb{P}^m)^n / G$，建立了关于数域密度的 Malle 估计与关于奇异法诺簇上有理点的 Batyrev-Tschinkel 估计之间的深刻联系。研究表明，$X$ 的本原有理点的高度 zeta 函数编码了 $G$-域的计数；在标准猜想下，证明了 Malle 的猜想蕴含此类簇的 Batyrev-Tschinkel 猜想，从而对 $G$-域的数量给出了改进的上界。

ABSTRACT

We relate the problem of counting number fields, in particular, Malle's conjecture with the problem of counting rational points on singular Fano varieties, in particular, Batyrev and Tschinkel's generalization of Manin's conjecture.

研究动机与目标

• 建立奇异法诺簇上的有理点与具有指定伽罗瓦群的数域之间的对应关系。
• 将 Malle 关于 $G$-域渐近密度的猜想与 Batyrev 和 Tschinkel 关于奇异法诺簇上有理点的猜想联系起来。
• 利用高度 zeta 函数及其猜想的解析性质，推导出 $G$-域数量的新上界。
• 通过将局部域扩张与商簇的全局几何联系起来，建立野生 McKay 对应关系的全局类比。

提出的方法

• 对于一个可迁子群 $G \leq S_n$，构造商簇 $X = (\mathbb{P}_K^m)^n / G$，当 $m \cdot \mathrm{ind}(G) \geq 2$ 时，该簇为具有典范奇点的法诺簇。
• 为 $X$ 上的本原 $K$-有理点定义高度 zeta 函数 $Z_{X(K)^{\mathrm{prim}}}(s)$，并证明其等于通过 $Z_{X(K)^{\mathrm{prim}}}(s) = \frac{1}{\sharp Z(G)} \sum_{L \in G\text{-}\mathrm{Fie}(K)} Z_{\mathbb{P}^m(L^{G_1})^{\mathrm{orig}}}(s)$ 对 $G$-域的加权和。
• 利用高度 zeta 函数的猜想解析行为——特别是 $s=1$ 处极点的位置与阶数——推导出 $G$-域数量的渐近信息。
• 应用狄利克雷级数的收敛半平面，将 $M_{G,K}(B)$ 的增长速率与 $\sum_F |N_{K/\mathbb{Q}}(D_{F/K})|^{-s}$ 的收敛性联系起来，利用引理 6.14 关于部分和增长的性质。
• 假设猜想 6.9、6.11 和 6.12 关于高度 zeta 函数的解析行为以及局部密度的收敛性，推导出全局上界。
• 利用 $m \cdot \mathrm{ind}(G) > 2$ 时 $X$ 为终端且 $\mathrm{cd}(X) = 0$ 的事实，使得 $Z_{X(K)^{\mathrm{prim}}}(s)$ 在 $s=1$ 处的极点阶数反映其 Picard 数与奇点，从而与 Batyrev-Tschinkel 猜想建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将数域 $K$ 上 $G$-域的计数与奇异法诺簇上点的分布联系起来？
• RQ2 Malle 关于数域密度的猜想与 Batyrev-Tschinkel 关于奇异法诺簇上点的猜想之间存在何种精确关系？
• RQ3 商簇 $X = (\mathbb{P}^m)^n / G$ 的高度 zeta 函数能否编码 $G$-域渐近增长的信息？
• RQ4 在何种条件下，$X$ 的高度 zeta 函数的极点阶数能反映 Malle 猜想中的不变量 $\mathrm{ind}(G)$ 与 $\beta(G,K)$？
• RQ5 $X$ 的典范奇点在连接局部域扩张与全局几何中起什么作用？

主要发现

• 在猜想 6.9、6.11 和 6.12 成立的条件下，高度 zeta 函数 $Z_{X(K)^{\mathrm{prim}}}(s)$ 在 $s=1$ 处有单极点，当且仅当 $\sum_{F \in G\text{-}\mathrm{fie}(K)} \delta_{F,m} < \infty$，这将 zeta 函数的解析行为与局部密度的收敛性联系起来。
• 当 $m = \lceil 3/\mathrm{ind}(G) \rceil$ 时，本文证明了对任意 $\epsilon > 0$，有 $M_{G,K}(B) \ll B^{m/2 + \epsilon}$，优于已知上界。
• 当 $G = S_n$ 时，该上界变为 $M_{S_n,K}(B) \ll B^{3/2 + \epsilon}$；当 $G = A_n$ 时，变为 $M_{A_n,K}(B) \ll B^{1 + \epsilon}$，显著改进了此前的亚指数或多项式上界。
• 结果表明，在相同猜想下，Malle 的猜想蕴含了对簇 $X = (\mathbb{P}^m)^n / G$ 的 Batyrev-Tschinkel 猜想。
• 本文通过将局部域扩张的加权计数与商簇的弦理论不变量联系起来，建立了野生 McKay 对应关系的全局类比。
• 当 $m \cdot \mathrm{ind}(G) = 2$ 时，该情形仍为开放问题，此时极点阶数预计跃升至 $\mathrm{cd}(X) + 1 = \beta(G,K) + 1$，但尚无证明。