[论文解读] Density in Approximation Theory

Allan Pinkus|ArXiv.org|Jan 20, 2005

Mathematical Approximation and Integration参考文献 49被引用 26

一句话总结

本文综述了逼近理论中的基本密度结果，重点讨论了在紧集或 ℝⁿ 上，多项式、三角多项式及径向基函数等函数族能够稠密逼近连续函数的条件。主要贡献在于对密度条件的全面概述，包括 Weierstrass 定理、Stone-Weierstrass 定理、Bohman-Korovkin 定理以及现代泛函分析方法，涵盖径向与基于多项式逼近系统的相关结果。

ABSTRACT

Approximation theory is concerned with the ability to approximate functions by simpler and more easily calculated functions. The first question we ask in approximation theory concerns the {\it possibility of approximation}. Is the given family of functions from which we plan to approximate dense in the set of functions we wish to approximate? In this work we survey some of the main density results and density methods.

研究动机与目标

• 综述在一致范数下，连续函数空间中函数族密度性的基础与现代结果。
• 阐明特定函数类（如多项式、三角多项式及径向函数）能够以任意精度逼近任意连续函数的条件。
• 介绍并解释关键理论工具，包括密度的对偶空间刻画与正线性算子。
• 研究经典密度定理在多变量情形的推广，特别是针对径向与基于多项式的逼近系统。
• 突出开放问题与最新进展，例如将单变量函数的平移与多项式复合后形成函数族的密度条件。

提出的方法

• 使用泛函分析准则：子空间 M 在赋范空间 E 中稠密，当且仅当每个在 M 上恒为零的连续线性泛函都恒为零。
• 应用 Riesz 表示定理刻画 C[a,b] 上连续线性泛函的零化泛函。
• 利用 Stone-Weierstrass 定理将 Weierstrass 的多项式逼近推广至紧 Hausdorff 空间 X 上的 C(X) 的子代数。
• 运用 Bohman-Korovkin 定理，通过简单的矩条件分析正线性算子收敛于恒等算子的过程。
• 应用齐次多项式表示理论：Hⁿₖ 上的每个线性泛函均可通过微分算子表示。
• 利用中心集 a 的几何与代数条件，分析 span{g(‖·−a‖)} 与 span{g(p(·−a))} 的密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，代数多项式空间在 C[a,b] 中稠密？
• RQ2 当连续函数 g 满足何种条件时，函数族 g(‖·−a‖) 的张成在 C(ℝⁿ) 中稠密？
• RQ3 对于给定多项式 p，何种条件可确保 g(p(·−a)) 的张成在 C(ℝⁿ) 中稠密？
• RQ4 在何种情况下，函数族 g(‖·−a‖) 的平移族在 C(ℝⁿ) 中不稠密？
• RQ5 点分离性在多项式函数平移族的稠密性中起何种作用？

主要发现

• Weierstrass 逼近定理表明，在一致范数下，代数多项式在 C[a,b] 中稠密。
• 三角多项式在 ℝ 上的 2π 周期连续函数空间中稠密。
• 对于径向函数，g(‖·−a‖) 的张成在 C(ℝⁿ) 中稠密，当且仅当 g 不是偶多项式。
• 当且仅当集合 {p(·−a)} 在 ℝⁿ 中分离点时，g(p(·−a)) 的张成在 C(ℝⁿ) 中稠密，其中 n=1,2,3。
• 当 n≥4 时，若 p 为齐次多项式，则点分离是必要条件但非充分条件。
• 若中心集 𝒜 为有限集与一组在公共点相交且夹角为 π 的有理倍数的 Coxeter 直线系统的并集，则 g(‖·−a‖) 的张成在 C(ℝ²) 中不稠密。