[论文解读] Density of positive Lyapunov exponents for symplectic cocycles

Disheng Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文在非周期动力系统上，针对所有标准正则性类中的辛、酉-辛及伪酉胞状系统，建立了正李雅普诺夫指数的稠密性。通过复化与单调性技术研究条带上一参数雅可比矩阵族，作者将阿维拉关于 SL(2,R) 胞状系统的结果推广至高维辛情形，证明在较弱正则性假设下，正李雅普诺夫指数是典型的。

ABSTRACT

We prove that Sp(2d;R), HSp(2d) and pseudo unitary cocycles with at least one non-zero Lyapunov exponent are dense in all usual regularity classes for non periodic dynamical systems. For Schrödinger operators on the strip, we prove a similar result for density of positive Lyapunov exponents.

研究动机与目标

• 将阿维拉关于 SL(2,R) 胞状系统中正李雅普诺夫指数稠密性的结果推广至高维辛、酉-辛及伪酉胞状系统。
• 在非周期基动力系统的 C^s、赫尔德连续及解析设定下，建立正李雅普诺夫指数在正则性类中的典型性。
• 将一频准周期薛定谔胞状系统中使用的复化与单调性技术推广至高维辛系统。
• 证明对于典型势能，具有简单谱与单位根特征值的参数区间很小，从而表明正李雅普诺夫指数是稠密的。

提出的方法

• 利用一参数辛胞状系统李雅普诺夫指数的复化局部正则化公式。
• 通过能量参数 E 上胞状映射的单调性，定义 m-函数与纤维旋转函数，实现复解析延拓。
• 利用 Möbius 作用在复化参数空间上的雅可比行列式，将李雅普诺夫指数与 Bergman 度量及奇异值联系起来。
• 使用 Cayley 变换共轭胞状系统，并推导李雅普诺夫指数在复方向的渐近行为。
• 应用半连续性与柯塔尼理论论证，证明正李雅普诺夫指数在 C^0 拓扑下是稠密的。
• 证明所有特征值模为 1 且为单重的 n 阶迭代的参数区间长度必为 O(1/n)，从而表明正李雅普诺夫指数是典型的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非周期动力系统上，标准正则性类中辛胞状系统的正李雅普诺夫指数是否稠密？
• RQ2 用于 SL(2,R) 胞状系统的复化与单调性技术能否推广至高维辛群？
• RQ3 所有特征值位于单位圆上且谱为单重的参数区间大小如何？其与李雅普诺夫指数正性有何关联？
• RQ4 在 C^s、赫尔德连续与解析正则性类中，辛及关联群的正李雅普诺夫指数集合是否在空间中稠密？

主要发现

• 在非周期动力系统的所有标准正则性类中，至少具有一个正李雅普诺夫指数的辛胞状系统集合是稠密的。
• 对于酉-辛与伪酉胞状系统，正李雅普诺夫指数在相同正则性类中亦为稠密。
• 所有 n 阶迭代特征值模为 1 的区间长度被限制为 O(1/n)，表明此类区间随 n 增大而缩小。
• 复化李雅普诺夫指数在虚方向上线性增长，增长率至少为 dt（t 较小时），从而意味着实方向上存在正李雅普诺夫指数。
• 证明依赖于能量参数上胞状系统一参数族的单调性，从而可使用 m-函数与基于雅可比行列式的估计。
• 该结果将阿维拉关于 SL(2,R) 的稠密性结果推广至高维辛群，确立了更广泛的典型双曲性原理。