[论文解读] Density of Self-Dual Automorphic Representations of GL_n(A_Q)

Vítězslav Kala|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文为 $GL_n(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上具有有界拉普拉斯特征值的自偶尖点自守表示的数量建立了弱威爾定律，证明了其多项式增长阶为 $\lambda^{d/2}$，其中 $d = n^2 + n$。当 $n = 2m$ 为偶数时，进一步证明了威爾定律，并在表示在极大紧致子群 $K$ 处为 $K$-球对称时给出了显式的误差项 $o(\lambda^{d/2})$，方法包括向经典群的函子性下降，以及对无穷小特征值和深度的分析。

ABSTRACT

We study the number $N_{\mathrm{sd}}^K(λ)$ of self-dual cuspidal automorphic representations of $GL_N(\mathbb{A_Q})$ which are $K$-spherical with respect to a fixed compact subgroup $K$ and whose Laplacian eigenvalue is $\leq λ$. We prove Weak Weyl's Law for $N_{\mathrm{sd}}^K(λ)$ in the form that there are positive constants $c_1, c_2$ (depending on $K$) and $d$ such that $c_1λ^{d/2}\leq N_{\mathrm{sd}}^K(λ)\leq c_2λ^{d/2}$ for all sufficiently large $λ$. When $N=2n$ is even and $K$ is a maximal compact subgroup at all places, we prove Weyl's Law for the number of self-dual representations, i.e., $N_{\mathrm{sd}}^K(λ)=cλ^{d/2}+o(λ^{d/2})$. These results are based on considering functorial descents of self-dual representations $Π$ to quasisplit classical groups $\mathbf G$. In order to relate the properties of representations under functoriality, we discuss the infinitesimal character of the real component $Π_\infty$, which determines the Laplacian eigenvalue. To relate the existence of $K$-fixed vectors, we study the depth of $p$-adic representations, proving a weak version of depth preservation. We also consider the explicit construction of local descent, which allows us to improve the results towards depth preservation for generic representations.

研究动机与目标

• 确定 $GL_n(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上具有有界拉普拉斯特征值的自偶尖点自守表示的渐近密度。
• 研究自偶表示是否在自守表示的完整谱系中构成正密度子集。
• 为具有 $K$-不变向量的此类表示建立精确的渐近增长速率（威爾型定律）。
• 分析在函子性映射下无穷小特征值与深度的行为，以关联不同群之间的谱数据。

提出的方法

• 利用兰道斯函子性，将 $GL_N(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上的自偶自守表示下降到拟分裂经典群 $\mathbf{G}$，特别是 $SO_{2n+1}$ 和 $Sp_{2n}$。
• 通过线性变换 $\lambda(\Pi) = c_G \lambda(\pi) + d_G$，将 $GL_N$-表示 $\Pi$ 的拉普拉斯特征值 $\lambda(\Pi)$ 与它在 $\mathbf{G}$ 上的下降表示 $\pi$ 的特征值 $\lambda(\pi)$ 关联起来。
• 分析阿基米德局部分量 $\Pi_\infty$ 的无穷小特征值，以控制拉普拉斯特征值并确保谱匹配。
• 研究 $p$-进局部分量的深度，以理解 $K$-不动点向量的存在性，证明在下降过程中深度的弱保持性。
• 利用显式局部下降构造，强化对一般表示的深度保持性结果。
• 应用已知的经典群（如 $SO_{2n+1}$）上的威爾定律结果，为自偶 $GL_N$-表示的数量推导出下界与上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $GL_N(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上的自偶尖点自守表示，其拉普拉斯特征值 $\leq \lambda$ 的数量的渐近增长速率为何？
• RQ2 自偶表示的集合在自守表示的完整谱系中是否具有正密度？
• RQ3 在何种条件下自偶表示满足威爾定律，且误差项的精确形式为何？
• RQ4 在函子性下降下，$p$-进表示的深度行为如何？能否以弱形式保持深度？
• RQ5 能否通过函子性将自偶 $GL_N$-表示的谱数据（特征值）与经典群的谱数据关联起来？

主要发现

• 对于任意 $N = 2n + \varepsilon$，$GL_N(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上 $K(M)$-球对称的自偶尖点自守表示中，其拉普拉斯特征值 $\leq \lambda$ 的数量 $N^{K(M)}_{\mathrm{sd}}(\lambda)$ 满足 $c_1 \lambda^{d/2} \leq N^{K(M)}_{\mathrm{sd}}(\lambda) \leq c_2 \lambda^{d/2}$，其中 $\lambda$ 足够大，且 $d = n^2 + n$。
• 当 $N = 2n$ 为偶数且 $K$ 在所有位置均为极大紧致子群时，威爾定律成立：$N^{K}_{\mathrm{sd}}(\lambda) = c \lambda^{d/2} + o(\lambda^{d/2})$，其中 $c$ 为显式的正数常量。
• 自偶表示计数的主要贡献来自下降到 $SO_{2n+1}(\mathbb{A})$ 的表示，其他贡献为低阶项。
• $GL_N$-表示 $\Pi$ 的拉普拉斯特征值与它在 $\mathbf{G}$ 上的下降表示 $\pi$ 的特征值之间满足关系 $\lambda(\Pi) = c_G \lambda(\pi) + d_G$，从而实现谱转移。
• 对于极大 $K$，$K$-球对称的自偶 $GL_N$-表示的数量渐近等价于 $\mathbf{G}$ 上 $K'$-球对称尖点形式的数量，后者满足威爾定律。
• 证明的关键在于假设 $K$ 在所有位置均为极大，否则对不动点向量和包大小的估计将不成立。