[论文解读] Density Tracking by Quadrature for Stochastic Differential Equations

Harish S. Bhat, R. W. M. A. Madushani|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文提出了积分密度追踪（DTQ）方法，这是一种数值方法，通过结合欧拉-丸山时间离散化与空间上的梯形求积法，计算随机微分方程（SDE）解的概率密度函数。该方法在 $L^1$ 范数下对马尔可夫链密度实现指数收敛，对真实 SDE 密度实现一阶收敛，且在相同精度下比福克-普朗克求解器具有更快的计算速度。

ABSTRACT

We develop and analyze a method, density tracking by quadrature (DTQ), to compute the probability density function of the solution of a stochastic differential equation. The derivation of the method begins with the discretization in time of the stochastic differential equation, resulting in a discrete-time Markov chain with continuous state space. At each time step, DTQ applies quadrature to solve the Chapman-Kolmogorov equation for this Markov chain. In this paper, we focus on a particular case of the DTQ method that arises from applying the Euler-Maruyama method in time and the trapezoidal quadrature rule in space. Our main result establishes that the density computed by DTQ converges in $L^1$ to both the exact density of the Markov chain (with exponential convergence rate), and to the exact density of the stochastic differential equation (with first-order convergence rate). We establish a Chernoff bound that implies convergence of a domain-truncated version of DTQ. We carry out numerical tests to show that the empirical performance of DTQ matches theoretical results, and also to demonstrate that DTQ can compute densities several times faster than a Fokker-Planck solver, for the same level of error.

研究动机与目标

• 开发一种用于计算 SDE 解的概率密度函数的数值收敛方法。
• 建立密度近似对马尔可夫链密度与真实 SDE 密度的理论收敛性。
• 为扩散过程中的统计推断提供一种计算高效的福克-普朗克求解器替代方案。
• 分析空间与时间离散化对收敛速率及归一化性质的影响。

提出的方法

• 该方法首先使用欧拉-丸山格式对 SDE 进行时间离散化，得到具有连续状态空间的离散时间马尔可夫链。
• 应用 Chapman-Kolmogorov 方程来建模马尔可夫链密度的时间演化。
• 通过等距网格上的梯形求积规则实现空间离散化，近似转移密度的积分。
• 得到的离散近似 $\hat{p}$ 通过迭代方式计算，并在每一步强制归一化以保持概率测度的完整性。
• 推导出一个切尔诺夫不等式，以保证方法在截断域版本下的收敛性。
• 将该方法与福克-普朗克方程的有限差分求解器进行比较，以验证其计算效率与准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 DTQ 近似 $\hat{p}$ 到 SDE 真实密度 $p$ 的收敛速率如何？
• RQ2 时间积分器与求积规则的选择如何影响密度近似的收敛性与稳定性？
• RQ3 DTQ 是否能在保持相近精度的前提下，实现比传统福克-普朗克求解器更优的计算效率？
• RQ4 当 SDE 在孤立点处扩散系数趋于零时，DTQ 需要进行哪些修改才能适用？
• RQ5 DTQ 能否推广至由非维纳 Lévy 过程（如 α 稳定 Lévy 运动）驱动的 SDE？

主要发现

• DTQ 方法在 $L^1$ 范数下对马尔可夫链密度 $\tilde{p}$ 实现指数收敛，误差以 $O(h^{-1} \exp(-r h^{-\kappa}))$ 的形式衰减，其中 $r$ 和 $\kappa$ 为正常数。
• $\hat{p}$ 对真实 SDE 密度 $p$ 的收敛速率为一阶，与欧拉-丸山离散化的 $O(h)$ 收敛速率一致。
• 建立了切尔诺夫不等式，保证了 DTQ 截断域版本的收敛性，确保了实际实现中的鲁棒性。
• 数值实验表明，DTQ 在相同误差水平下，计算速度比福克-普朗克求解器快数倍。
• 该方法保持了良好的归一化性质，离散近似 $\hat{q}$ 在 $L^1$ 范数下收敛至 $\tilde{p}$，意味着底层随机变量的总变差收敛。
• 初步结果表明，若相应地重新定义转移核，将欧拉-丸山方法替换为高阶时间积分器，可实现对 $p$ 的 $O(h^2)$ 收敛。