[论文解读] Dependence between External Path-Length and Size in Random Tries

Michael Fuchs, Hsien‐Kuei Hwang|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2016

Algorithms and Data Compression参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文研究了在偏置和对称位分布下，随机前缀树中大小与外部路径长度（EPL）之间的依赖关系。通过泊松化、Mellin变换和压缩方法，证明在非对称情况下，EPL与大小渐近独立，而在对称情况下则表现出强烈的周期性依赖——这是罕见的二元正态极限分布实例，其相关系数为0、1或因周期波动而振荡。

ABSTRACT

We study the size and the external path length of random tries and show that they are asymptotically independent in the asymmetric case but strongly dependent with small periodic fluctuations in the symmetric case. Such an unexpected behavior is in sharp contrast to the previously known results that the internal path length is totally positively correlated to the size and that both tend to the same normal limit law. These two examples provide concrete instances of bivariate normal distributions (as limit laws) whose correlation is $0$, $1$ and periodically oscillating.

研究动机与目标

• 分析在不同位偏置下，随机前缀树中大小与外部路径长度（EPL）之间的渐近依赖结构。
• 确定在极限情况下，EPL与大小是否渐近不相关或相关，具体取决于偏置参数p。
• 识别大小与EPL的极限联合分布的性质，特别是在对称（p = 1/2）与非对称（p ≠ 1/2）情况下的差异。
• 建立大小与EPL之间的相关系数在极限下可为0、1或周期性振荡的结论，与内部路径长度的相关结果形成对比。

提出的方法

• 对大小 $ S_n $、EPL $ K_n $ 和内部路径长度 $ N_n $ 的递推关系应用泊松化，将问题转化为更易处理的形式。
• 使用Mellin变换技术分析 $ S_n $ 和 $ K_n $ 的渐近矩与方差，尤其关注 $ p = 1/2 $ 的对称情况。
• 采用压缩方法证明 $ (S_n, K_n) $ 的渐近联合正态性，表明在中心化与标准化后，其收敛于具有单位协方差矩阵的二元正态分布。
• 通过函数 $ \fancyscript{F}[g](n) $ 捕获对称情况下的周期波动，该函数依赖于 $ \log p / \log q $ 的有理性。
• 使用去泊松化技术，将泊松化模型中的结果转移回原始的固定 $ n $ 模型。
• 通过分析 $ \mathrm{Cov}(S_n, K_n) $ 的渐近行为来研究 $ S_n $ 与 $ K_n $ 之间的相关系数，特别关注 $ p = 1/2 $ 的情况，此时 $ K_n $ 的方差为线性阶而非 $ n \log n $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当位分布呈偏置（p ≠ 1/2）时，随机前缀树中大小与外部路径长度之间的相关性在渐近下如何表现？
• RQ2 在对称情况（p = 1/2）下，大小与EPL之间的依赖关系性质如何？为何其与非对称情况不同？
• RQ3 大小与EPL的联合极限分布是否可表征为二元正态分布？若是，其极限相关结构为何？
• RQ4 为何在对称情况下EPL的方差为 $ \Theta(n) $，而在非对称情况下为 $ \Theta(n \log n) $？

主要发现

• 在非对称情况（p ≠ 1/2）下，大小 $ S_n $ 与外部路径长度 $ K_n $ 渐近不相关，相关系数趋于0。
• 在对称情况（p = 1/2）下，$ S_n $ 与 $ K_n $ 之间的相关性为强正相关，并因 $ \log p / \log q $ 的有理性而表现出微小的周期性波动。
• 在中心化与标准化后，$ (S_n, K_n) $ 的联合分布收敛于具有单位协方差矩阵的二元正态分布，证实了其渐近联合正态性。
• 在极限情况下，$ S_n $ 与 $ K_n $ 的极限相关系数在非对称情况下为0，在对称情况下为1并伴随周期性波动，提供了二元正态极限分布中相关系数为0、1及振荡值的明确实例。
• 当 $ p \neq 1/2 $ 时，$ K_n $ 的方差为 $ \Theta(n \log n) $，但当 $ p = 1/2 $ 时仅为 $ \Theta(n) $，这是由于系数 $ \lambda = \frac{pq \log^2(p/q)}{h^3} $ 在 $ p = 1/2 $ 处消失所致。
• 压缩方法与泊松化技术成功建立了 $ (S_n, K_n) $ 的渐近联合正态性，收敛性通过 $ L_3 $-收敛及矩阵系数的几乎必然收敛性得以证明。