[论文解读] Dependent Randomized Rounding for Matroid Polytopes and Applications

Chandra Chekuri, J. Vondrák+1 more|ArXiv.org|Sep 24, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 33被引用 37

一句话总结

本文提出随机交换舍入（randomized swap rounding），一种针对拟阵多面体的新颖依赖舍入技术，对线性函数实现强切尔诺夫型集中性界，对单调子模函数实现指数型下尾界。该方法可实现对拟阵和 $k$ 个线性约束下单调子模函数的最大化问题的 $(1-1/e - \varepsilon)$-近似解，即使在 $k$ 为超常数且约束宽松时也成立，并将连续贪心算法推广至多目标子模最大化问题，提供帕累托集保证。

ABSTRACT

Motivated by several applications, we consider the problem of randomly rounding a fractional solution in a matroid (base) polytope to an integral one. We consider the pipage rounding technique and also present a new technique, randomized swap rounding. Our main technical results are concentration bounds for functions of random variables arising from these rounding techniques. We prove Chernoff-type concentration bounds for linear functions of random variables arising from both techniques, and also a lower-tail exponential bound for monotone submodular functions of variables arising from randomized swap rounding. The following are examples of our applications: (1) We give a (1-1/e-epsilon)-approximation algorithm for the problem of maximizing a monotone submodular function subject to 1 matroid and k linear constraints, for any constant k and epsilon>0. (2) We present a result on minimax packing problems that involve a matroid base constraint. We give an O(log m / log log m)-approximation for the general problem Min {lambda: x \in {0,1}^N, x \in B(M), Ax <= lambda b}, where m is the number of packing constraints. (3) We generalize the continuous greedy algorithm to problems involving multiple submodular functions, and use it to find a (1-1/e-epsilon)-approximate pareto set for the problem of maximizing a constant number of monotone submodular functions subject to a matroid constraint. An example is the Submodular Welfare Problem where we are looking for an approximate pareto set with respect to individual players' utilities.

研究动机与目标

• 开发一种新的依赖舍入方案——随机交换舍入，以在拟阵多面体上保持子模函数的集中性性质。
• 解决在拟阵多面体中，当独立舍入因约束而失败时，舍入分数解的挑战。
• 将子模最大化的近似算法从单目标问题推广至多个单调子模函数在拟阵约束下的多目标问题。
• 通过依赖随机变量的集中性界，为组合优化中的非线性目标和多重约束提供一个通用框架。
• 在常数或约束宽松的线性约束下实现 $(1-1/e - \varepsilon)$-近似解，并为多目标子模优化计算近似帕累托集。

提出的方法

• 提出随机交换舍入作为拟阵多面体上点的新依赖舍入技术，替代或补充管道舍入（pipage rounding）。
• 为随机交换舍入生成的随机变量的线性函数建立切尔诺夫型集中性界。
• 证明在随机交换舍入下，单调子模函数具有指数型下尾界，从而实现对次优结果的概率保证。
• 将连续贪心算法适配为可同时处理多个单调子模函数，利用多线性扩展并通过线性规划寻找方向。
• 通过先求解分数松弛问题，再利用随机交换舍入进行舍入，将方法应用于在拟阵和 $k$ 个线性约束下最大化单调子模函数的问题。
• 通过猜测步骤减少边际贡献，并结合并集界与集中不等式，确保高概率下的近似保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种新的依赖舍入技术，使其在拟阵多面体上对线性和子模函数均提供强集中性界？
• RQ2 在使用依赖舍入时，对拟阵和常数个线性约束下最大化单调子模函数的问题，可实现的近似保证是什么？
• RQ3 连续贪心算法能否推广至在拟阵约束下处理多个单调子模目标函数，以计算近似帕累托集？
• RQ4 在子模最大化的背景下，随机交换舍入与管道舍入相比，在集中性和近似质量方面表现如何？
• RQ5 当线性约束数 $k$ 为超常数时，约束矩阵需满足何种条件，才能实现 $(1-1/e - \varepsilon)$-近似解？

主要发现

• 对任意常数 $k \geq 1$ 和 $\varepsilon > 0$，在 1 个拟阵和 $k$ 个线性约束下，最大化单调子模函数的问题可实现 $(1-1/e - \varepsilon)$-近似解。
• 当右端项相对于矩阵元素的大小为 $\Omega(\varepsilon^{-2}\log k)$ 因子时，$k$ 个线性约束下也可获得相同的近似比，从而允许 $k$ 为超常数。
• 对具有拟阵基约束和 $m$ 个打包约束的极小化最大打包问题，提供 $O(\log m / \log \log m)$-近似解。
• 在拟阵约束下，对常数个单调子模函数的最大化问题，计算出 $(1-1/e - \varepsilon)$-近似帕累托集，解决了多目标子模福利问题。
• 随机交换舍入对单调子模函数实现了指数型下尾界，从而提供强大的概率集中性保证。
• 该方法使连续贪心算法可推广用于多目标子模最大化问题，当不存在满足所有目标值的解时，能提供不可行性证明。