[论文解读] Depth creates no more spurious local minima
本文证明，对于任意凸可微损失函数，深度线性网络不存在不良局部极小值当且仅当对应的两层线性网络也不存在，从而将深度网络的分析简化为更简单的两层情形。关键贡献在于提出了一种新颖的扰动论证，表明任何不良局部极小值必须具有满秩，这使得该简化成为可能，并由此得出了深度线性网络在二次损失下不存在不良极小值的无条件证明。
We show that for any convex differentiable loss, a deep linear network has no spurious local minima as long as it is true for the two layer case. This reduction greatly simplifies the study on the existence of spurious local minima in deep linear networks. When applied to the quadratic loss, our result immediately implies the powerful result in [Kawaguchi 2016]. Further, with the work in [Zhou and Liang 2018], we can remove all the assumptions in [Kawaguchi 2016]. This property holds for more general "multi-tower" linear networks too. Our proof builds on [Laurent and von Brecht 2018] and develops a new perturbation argument to show that any spurious local minimum must have full rank, a structural property which can be useful more generally.
研究动机与目标
- 解决深度线性网络中深度是否引入不良局部极小值的开放问题。
- 通过将其简化为两层情形，简化深度线性网络中不良局部极小值的分析。
- 建立不良局部极小值的非退化性质——即它们必须具有满秩——该性质不仅适用于深度网络。
- 将结果扩展至多塔线性网络，并消除先前关于二次损失研究中的假设。
提出的方法
- 提出一种新颖的一阶扰动论证，以证明深度线性网络中的任何不良局部极小值必须具有满秩。
- 通过在瓶颈层分割网络，将深度网络中不良极小值的问题简化为两层情形。
- 应用该扰动技术，表明深度网络中的非全局临界点可被局部扰动以还原为两层设置。
- 利用满秩性质消除原本需要复杂分析的低秩情形，如早期研究中所遇到的。
- 通过将每座塔视为一个超层并应用相同的简化原则，将结果推广至多塔线性网络。
- 利用现有两层网络的研究结果（例如，[19]），在无需先前假设的情况下，实现对二次损失下无条件的无不良极小值证明。
实验结果
研究问题
- RQ1深度线性网络中的深度是否会在两层网络已有的不良局部极小值之外引入额外的不良局部极小值？
- RQ2对于任意凸可微损失，能否将深度线性网络中不良局部极小值的存在性问题简化为两层情形？
- RQ3深度线性网络中的不良局部极小值必须满足何种结构性质？
- RQ4能否在无限制性假设下，无条件地证明深度线性网络在二次损失下不存在不良局部极小值？
- RQ5该简化原则是否可推广至多塔线性网络？
主要发现
- 对于任意凸可微损失，深度线性网络不存在不良局部极小值当且仅当对应的两层线性网络也不存在。
- 深度线性网络中的任何不良局部极小值必须具有满秩，这一非退化性质简化了分析。
- 该结果意味着，对于深度线性网络中的二次损失，可无条件地证明不存在不良局部极小值，消除了先前研究（如Kawaguchi, 2016）中的假设。
- 该简化至两层情形的结论适用于多塔线性网络，其中不良极小值的有无仅取决于各塔瓶颈层合并后形成的两层网络。
- 当合并后的瓶颈大小 $b$ 满足 $b \geq \max(m,n)$ 时，多塔网络不存在不良局部极小值。
- 该证明技术基于一种新的扰动论证，避免了复杂的数学工具，并将Laurent和von Brecht (2017) 的方法推广至具有瓶颈层的网络。
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