[论文解读] Depth with respect to a family of convex sets

Leonardo Martínez-Sandoval, Roee Tamam|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2016

Numerical Methods and Algorithms被引用 1

一句话总结

本文引入了一种关于Rd中有限个凸集族F的新深度概念depF，推广了Tukey深度。建立了几何深度与组合击中集问题之间的对偶性，证明了αd,k + βd+1,k = 1，其中αd,k为保证的最小深度，βm,k为击中集阈值。该结果为k接近d时提供了紧致界，并在分数横截与中心点理论方面得出新结论。

ABSTRACT

We propose a notion of depth with respect to a finite family $\mathcal{F}$ of convex sets in $\mathbb{R}^d$ which we call $ ext{dep}_\mathcal{F}$. We begin showing that $ ext{dep}_\mathcal{F}$ satisfies some expected properties for a measure of depth and that this definition is closely related to the notion of depth proposed by J. Tukey. We show that some properties of Tukey depth extend to $ ext{dep}_\mathcal{F}$ and we point out some key differences. We then focus on the following centerpoint-type question: what is the best depth $\alpha_{d,k}$ that we can guarantee under the hypothesis that the family $\mathcal{F}$ is $k$-intersecting? We show a key connection between this problem and a purely combinatorial problem on hitting sets. The relationship is useful in both directions. On the one hand, for values of $k$ close to $d$ the combinatorial interpretation gives a good bound for $k$. On the other hand, for low values of $k$ we can use the classic Rado's centerpoint theorem to get combinatorial results of independent interest. For intermediate values of $k$ we present a probabilistic framework to improve the bounds and illustrate its use in the case $k\approx d/2$. These results can be though of as an interpolation between Helly's theorem and Rado's centerpoint theorem. As an application of these results we find a Helly-type theorem for fractional hyperplane transversals. We also give an alternative and simpler proof for a transversal result of A. Holmsen.

研究动机与目标

• 定义并研究Rd中关于有限个凸集族F的新几何深度度量depF。
• 建立几何深度参数αd,k与组合击中集参数βm,k之间的对偶性。
• 为k-相交凸集族推导出保证深度αd,k的改进界。
• 将该理论应用于证明关于分数超平面横截的新Helly型定理，并重新证明Holmsen关于直线横截的结果。

提出的方法

• 将depF(p)定义为任意包含点p的闭半空间所相交的F中集合的最小数量。
• 证明r-中心Cr(F)（即满足depF ≥ r的点的集合）是凸集，推广了Tukey深度的性质。
• 建立关键对偶性：αd,k + βd+1,k = 1，将几何深度与组合击中集参数βm,k联系起来。
• 利用Rado的中心点定理推导出固定k时βm,k的界，并通过带瑕疵的随机方法改进中间k值的界。
• 利用对偶性证明关于分数超平面横截的新Helly型定理。
• 给出Holmsen关于直线横截结果的简化证明：任何满足三重凸包条件的k-相交族，其至少1/8的集合可被一条直线横截。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Rd中任意k-相交凸集族下，可保证的最优深度αd,k是多少？
• RQ2 几何深度参数αd,k与控制击中集的组合参数βm,k之间有何关系？
• RQ3 αd,k与βm,k之间的对偶性能否用于在几何与组合学中推导新结果？
• RQ4 当k接近d时，αd,k的紧致界是什么？与Rado的中心点定理相比如何？
• RQ5 该框架能否用于推导新的横截定理，例如关于分数超平面横截的定理？

主要发现

• 对所有正整数d和k ∈ [d+1]，对偶性αd,k + βd+1,k = 1精确成立。
• 当k = d时，保证的深度恰好为αd,d = d/(d+1)，该界是紧致的，并优于一般界。
• 对于固定k，击中集参数满足βm,k = 1 − Ω(1/(k√m))，当m → ∞时渐近紧致。
• 当m = 2k时，界改进为β2k,k ≤ 1 − 1/(k√15)，意味着α2k−1,k ≥ 1/(k√15)。
• 该框架导出一个Helly型定理：若F是k-相交族，则存在一点，使得通过该点的每条超平面至少横截Ω(|F|/(k√d+1))个集合。
• 为Holmsen的结果提供了另一种更简洁的证明：任何满足三重凸包条件的k-相交族，其至少1/8的集合可被一条直线横截。